Частная производная функции z = e^(x/y) равна

Решение:

Для нахождения частной производной функции \( z = e^{\frac{x}{y}} \) по переменной \( x \) (что обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial x} \)) необходимо рассматривать \( y \) как константу.

Применяем правило дифференцирования экспоненциальной функции: \( (e^u)' = e^u · u' \).

Здесь \( u = \frac{x}{y} \). Частная производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y} \) (так как \( \frac{1}{y} \) является константой при дифференцировании по \( x \)).

Таким образом, частная производная \( z \) по \( x \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{x}{y}} · \frac{1}{y} = \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} \]

Теперь рассмотрим частную производную \( z \) по переменной \( y \) (что обозначается как \( \frac{\partial z}{\partial y} \)). Необходимо рассматривать \( x \) как константу.

Применяем правило дифференцирования экспоненциальной функции: \( (e^u)' = e^u · u' \).

Здесь \( u = \frac{x}{y} \). Частная производная \( u \) по \( y \) равна \( \frac{\partial u}{\partial y} = x · \frac{\partial}{\partial y}(y^{-1}) = x · (-1 · y^{-2}) = -\frac{x}{y^2} \) (так как \( x \) является константой при дифференцировании по \( y \)).

Таким образом, частная производная \( z \) по \( y \) равна:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{x}{y}} · \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} \]

Варианты ответов:

• $$\circ \quad e^{\frac{x}{y}} \left(-\frac{x}{y^2}\right)$$

• $$\circ \quad e^{\frac{x}{y}} \frac{1}{y}$$

• $$\circ \quad e^{\frac{x}{y}} · \frac{1}{y^2}$$

• $$\circ \quad -x e^{\frac{x}{y}}$$

Ответ: Вариант \( e^{\frac{x}{y}} \left(-\frac{x}{y^2}\right) \) соответствует частной производной по \( y \).