Частная производная по переменной у функции z(x; y) = 5x⁴y² равна

Чтобы найти частную производную функции $$z(x, y) = 5x^4y^2$$ по переменной y, нужно рассматривать x как константу и дифференцировать только по y.

Правило дифференцирования степени: $$(y^n)' = ny^{n-1}$$

Применим это правило к нашей функции:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4y^2) = 5x^4 \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 5x^4 \cdot 2y = 10x^4y$$

Следовательно, частная производная функции $$z(x, y) = 5x^4y^2$$ по переменной y равна $$10x^4y$$.

Ответ: 10x⁴ y