Частное двух чисел равно наибольшему общему делителю чисел 12 и 16. Сумма этих чисел равна наименьшему общему кратному чисел 50 и 75. Найдите эти числа.

Решение:

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 12 и 16.

• Разложим числа на простые множители:
• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 16 = 2^4 \)
• НОД(12, 16) = \( 2^2 = 4 \).

2. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 50 и 75.

• Разложим числа на простые множители:
• \( 50 = 2 \cdot 5^2 \)
• \( 75 = 3 \cdot 5^2 \)
• НОК(50, 75) = \( 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150 \).

3. Обозначим искомые числа как \( a \) и \( b \). По условию:

• \( \frac{a}{b} = 4 \)
• \( a + b = 150 \)

Из первого уравнения выразим \( a \): \( a = 4b \).

Подставим во второе уравнение:

• \( 4b + b = 150 \)
• \( 5b = 150 \)
• \( b = 30 \)

Теперь найдём \( a \):

• \( a = 4b = 4 \cdot 30 = 120 \)

Проверим:

• \( \frac{120}{30} = 4 \) (верно)
• \( 120 + 30 = 150 \) (верно)

Искомые числа — 120 и 30.

Среди предложенных вариантов есть пара 30 и 120.

Ответ: В) 30 и 120