Частное решение дифференциального уравнения \( \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 1 \) имеет вид:

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

1. Решение однородного уравнения:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 4 = 0 \), откуда \( r^2 = -4 \), \( r = ± 2i \).

Общее решение однородного уравнения имеет вид: \( x_0(t) = C_1 · · · · · (2t) + C_2 · · · (2t) \)

2. Частное решение неоднородного уравнения:

Правая часть уравнения равна константе \( f(t) = 1 \). Ищем частное решение в виде \( x_p(t) = A \), где \( A \) — константа.

Подставляем \( x_p \) и \( x_p'' \) в исходное уравнение:

\( 0 + 4A = 1 \), откуда \( A = \frac{1}{4} \).

Частное решение: \( x_p(t) = \frac{1}{4} \).

3. Общее решение неоднородного уравнения:

\( x(t) = x_0(t) + x_p(t) = C_1 · · · · · (2t) + C_2 · · · (2t) + \frac{1}{4} \).

Среди предложенных вариантов, ни один не соответствует полному общему решению. Однако, если вопрос подразумевает лишь вид частного решения неоднородной части, то это \( \frac{1}{4} \). Если же вопрос о любом частном решении, которое может быть получено из общего при определённых \( C_1, C_2 \), то вариантов может быть много.

Анализируя предложенные варианты:

• \( C_1····· (2t) + C_2··· (2t) \) - это общее решение однородного уравнения.
• \( C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} \) - это решение другого типа уравнения (с действительными корнями характеристического уравнения).
• \( Ce^{-2t} \) - также решение другого типа уравнения.
• \( C \) - константа, может быть частным решением, если \( 4C=1 \), т.е. \( C = 1/4 \).

Исходя из вариантов, можно предположить, что под