Частное решение дифференциального уравнения \(\frac{d^2x}{dt^2} - 4x = 1\) имеет вид

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ищется как сумма общего решения однородного уравнения \( x_0 \) и частного решения неоднородного уравнения \( x_ч \).

1. Общее решение однородного уравнения:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 4 = 0 \). Корни: \( r_1 = 2 \), \( r_2 = -2 \).

Общее решение однородного уравнения: \( x_0 = C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} \).

2. Частное решение неоднородного уравнения:

Правая часть уравнения равна константе (1). Ищем частное решение в виде \( x_ч = A \).

Найдём первую и вторую производные \( x_ч \):

\( x'_ч = 0 \)

\( x''_ч = 0 \)

Подставим в исходное уравнение:

\[ 0 - 4A = 1 \]

Отсюда, \( A = -\frac{1}{4} \).

Частное решение: \( x_ч = -\frac{1}{4} \).

3. Общее решение неоднородного уравнения:

\( x(t) = x_0 + x_ч = C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} - \frac{1}{4} \).

Среди предложенных вариантов ответа нет точного соответствия. Однако, если бы было задание найти частное решение *неоднородного* уравнения, то оно было бы \( -1/4 \). Если же вопрос о *частном решении* в общем смысле, то это может быть любой допустимый вид решения.

Если предположить, что в вариантах ответа подразумевается *общее* решение, то ни один из вариантов не совпадает с полученным \( C_1e^{2t} + C_2e^{-2t} - \frac{1}{4} \).

Рассмотрим предложенные варианты:

• \( C \) - это константа, не является решением.
• \( Ce^t \) - не соответствует корням характеристического уравнения.
• \( C_1\cos 2t + C_2\sin 2t \) - соответствует случаю комплексных корней \( r = \pm 2i \), что неверно.
• \( C_1\cos t + C_2\sin t \) - соответствует случаю комплексных корней \( r = \pm i \), что неверно.

Возможно, в условии или вариантах ответа есть ошибка. Если бы уравнение было \( \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 1 \), то соответствующее однородное уравнение имело бы корни \( r = \pm 2i \), и тогда бы подошло третье решение.

При текущем условии, ни один из вариантов не подходит.

Предполагаемый ответ, исходя из возможной ошибки в условии или вариантах: Если бы уравнение было \( \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 1 \), то частное решение было бы \( x_ч = C_1 \textrm{cos}(2t) + C_2 \textrm{sin}(2t) \) для однородной части. Но вопрос о частном решении неоднородного уравнения. И если вопрос был бы про однородное уравнение \( \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 0 \), то ответ \( C_1 \textrm{cos}(2t) + C_2 \textrm{sin}(2t) \) был бы верен.

Однако, поскольку в задании указано \( \frac{d^2x}{dt^2} - 4x = 1 \), частное решение неоднородного уравнения равно \( -1/4 \). Среди предложенных вариантов такого нет. Если же вопрос подразумевает вид ОБЩЕГО решения, то ни один из предложенных вариантов не является верным.