Частное решение дифференциального уравнения y" +4y'+4y = 4, корни характеристического уравнения которого r₁=r2=-2, имеет вид

Решение:

Характеристическое уравнение для однородного уравнения \( y'' + 4y' + 4y = 0 \) имеет вид \( r^2 + 4r + 4 = 0 \). Корни этого уравнения \( r_1 = r_2 = -2 \).

Частное решение неоднородного уравнения \( y'' + 4y' + 4y = 4 \) ищется в виде \( y_ч = Ax^2 \), так как правая часть — константа, а \( r=0 \) не является корнем характеристического уравнения.

Для подстановки в уравнение найдём первую и вторую производные от \( y_ч \):

• \( y_ч' = 2Ax \)
• \( y_ч'' = 2A \)

Подставим в исходное уравнение:

\[ 2A + 4(2Ax) + 4(Ax^2) = 4 \]

\[ 2A + 8Ax + 4Ax^2 = 4 \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \), получим:

• При \( x^2 \): \( 4A = 0 \rightarrow A = 0 \).

Это противоречит тому, что \( y_ч \) должно быть ненулевым. Причина в том, что \( r=0 \) не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения должно быть просто константой \( A \).

Ищем частное решение в виде \( y_ч = A \).

• \( y_ч' = 0 \)
• \( y_ч'' = 0 \)

Подставляем в исходное уравнение:

\[ 0 + 4(0) + 4A = 4 \]

\[ 4A = 4 \]

\[ A = 1 \]

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно \( y_ч = 1 \).

Среди предложенных вариантов ответа, наиболее подходящим является \( A \), подразумевая, что \( A=1 \) является константой.

Ответ: A