Частное решение дифференциального уравнения y" +4y'+4y= 4, корни характеристического уравнения которого r₁=r2=-2, имеет вид

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: \( y'' + 4y' + 4y = 4 \). Корни характеристического уравнения \( r^2 + 4r + 4 = 0 \) равны \( r_1 = r_2 = -2 \).

Общее решение однородного уравнения: \( y_0(x) = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} \).

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения \( y_h(x) \) будем искать в виде константы, так как правая часть равна константе \( 4 \).

Пусть \( y_h(x) = A \).

Тогда \( y_h'(x) = 0 \) и \( y_h''(x) = 0 \).

Подставляем в исходное уравнение:

\[ 0 + 4(0) + 4A = 4 \]

\[ 4A = 4 \]

\[ A = 1 \]

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: \( y_h(x) = 1 \).

Полное решение дифференциального уравнения имеет вид: \( y(x) = y_0(x) + y_h(x) \).

\[ y(x) = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + 1 \]

Ответ: \( y(x) = C_1e^{-2x} + C_2xe^{-2x} + 1 \).