Частные производные функции z = e^xy равны

Решение:

Чтобы найти частные производные функции \( z = e^{xy} \), мы будем дифференцировать поочерёдно по \(x\) и \(y\), считая другую переменную константой.

1. Частная производная по \(x\):
   Считаем \(y\) константой. Производная от \( e^u \) по \(x\) равна \( e^u \) умножить на производную \(u\) по \(x\).
   \( u = xy \).
   \( \frac{\partial u}{\partial x} = y \).
   Таким образом,
   \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = e^{xy} \cdot y = ye^{xy} \]
2. Частная производная по \(y\):
   Считаем \(x\) константой. Производная от \( e^u \) по \(y\) равна \( e^u \) умножить на производную \(u\) по \(y\).
   \( u = xy \).
   \( \frac{\partial u}{\partial y} = x \).
   Таким образом,
   \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy) = e^{xy} \cdot x = xe^{xy} \]

Среди предложенных вариантов ответов, нам нужно выбрать те, которые соответствуют вычисленным частным производным.