Частные производные функции z = x^3 + xy равны

Решение:

Задана функция \( z = x^3 + xy \). Найдем её частные производные.

• Частная производная по \( x \):
  \( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + xy) \)
  При дифференцировании по \( x \), \( y \) считается константой:
  \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + y \)
• Частная производная по \( y \):
  \( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + xy) \)
  При дифференцировании по \( y \), \( x^3 \) считается константой:
  \( \frac{\partial z}{\partial y} = 0 + x = x \)
• Вторая частная производная по \( x \):
  \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 + y) = 6x \)
• Смешанная частная производная: \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + y) = 1 \)
  Также:
  \( \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \)

Сравнивая полученные результаты с вариантами ответов, видим, что вариант \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + y \) соответствует нашему расчету.

Ответ: \( \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + y \).