Чему равен больший катет прямоугольного треугольника, если разность катетов равна 31 м, а площадь треугольника составляет 180 м²? Запиши в поле ответа только число, без единиц измерения.

Решаем задачу по шагам:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b. По условию задачи:

• Разность катетов: \( |a - b| = 31 \) м.
• Площадь треугольника: \( S = 180 \) м².

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Из этой формулы выразим произведение катетов:

\[ ab = 2S = 2 × 180 = 360 \]м².

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( ab = 360 \)
2. \( a - b = 31 \) (предположим, что a — больший катет)

Из второго уравнения выразим a:

\[ a = b + 31 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ (b + 31)b = 360 \]\[ b^2 + 31b - 360 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение для нахождения b. Воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4(1)(-360) = 961 + 1440 = 2401 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ √{D} = √{2401} = 49 \]

Теперь найдем значения b:

\[ b_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ b_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40 \]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем b = 9 м.

Теперь найдем больший катет a:

\[ a = b + 31 = 9 + 31 = 40 \]м.

Проверим: разность катетов 40 - 9 = 31 м, площадь \( \frac{1}{2} × 40 × 9 = 20 × 9 = 180 \) м². Все сходится.

Ответ: 40