Чему равен общий ток, втекающий в участок, схема которого изображена на рисунке, если ток через резистор с сопротивлением 3R равен 100 мА? Ответ выразите в миллиамперах, округлив до целого числа.

Решение:

Для начала определим эквивалентное сопротивление участка цепи.

Рассмотрим верхнюю ветвь:

Два резистора \(R\) и \(2R\) соединены последовательно: \(R_{1} = R + R = 2R\).

Этот участок \(R_1\) параллельно подключен к резистору \(2R\).

Общее сопротивление верхней части цепи: \(R_{верх} = \frac{R_{1} \cdot 2R}{R_{1} + 2R} = \frac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R\).

Теперь рассмотрим нижнюю ветвь:

Резистор \(R\) параллельно подключен к резистору \(3R\).

Общее сопротивление нижней части цепи: \(R_{низ} = \frac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3}{4}R\).

Теперь все три ветви (верхняя, средняя с \(R\) и нижняя) соединены параллельно. Но согласно схеме, средняя ветвь с резистором \(R\) и нижняя ветвь с резистором \(3R\) образуют две параллельные ветви, а верхняя часть цепи (с резисторами \(R\), \(R\), \(2R\) и \(2R\)) — ещё одна параллельная ветвь.

Таким образом, у нас три параллельные ветви:

1. Первая ветвь: \(R\) (объединение \(R+R\) и \(2R\) параллельно).
2. Вторая ветвь: \(R\).
3. Третья ветвь: \(3R\).

Эквивалентное сопротивление этих трех параллельных ветвей:

\(\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{3R} = \frac{3}{3R} + \frac{3}{3R} + \frac{1}{3R} = \frac{7}{3R}\)

\(R_{экв} = \frac{3R}{7}\).

Дано, что ток через резистор \(3R\) равен \(I_{3R} = 100 \text{ мА}\).

Напряжение на этом резисторе (и на всей нижней ветви) равно:

\(U = I_{3R} · 3R = 100 · 3R = 300R \text{ (мА · R)}\).

Так как все ветви соединены параллельно, напряжение на каждой ветви одинаковое. То есть, напряжение на первой ветви (эквивалентное \(R\)) и на второй ветви (\(R\)) также равно \(U = 300R\).

Ток через первую ветвь (эквивалентное \(R\)):

\(I_{1} = \frac{U}{R} = \frac{300R}{R} = 300 \text{ мА}\).

Ток через вторую ветвь (\(R\)):

\(I_{2} = \frac{U}{R} = \frac{300R}{R} = 300 \text{ мА}\).

Общий ток, втекающий в участок, — это сумма токов во всех параллельных ветвях:

\(I_{общий} = I_{1} + I_{2} + I_{3R} = 300 \text{ мА} + 300 \text{ мА} + 100 \text{ мА} = 700 \text{ мА}\).

Примечание: В задании указано, что схема изображена на рисунке, и ток через резистор 3R равен 100 мА. Мы нашли, что эквивалентное сопротивление трех параллельных ветвей равно \(\frac{3R}{7}\).

Общий ток, втекающий в эту систему параллельных ветвей, можно рассчитать через эквивалентное сопротивление, если бы было известно общее напряжение. Однако, нам дано напряжение косвенно, через ток в одной из ветвей.

Напряжение на нижней ветви, где находится резистор \(3R\): \(U_{ниж} = I_{3R} \cdot 3R = 100 \text{ мА} · 3R = 300R \text{ (мА \u00B7 R)}\).

Поскольку все ветви соединены параллельно, напряжение на каждой ветви одинаково: \(U = U_{ниж} = 300R \text{ (мА \u00B7 R)}\).

Ток через первую параллельную ветвь (эквивалентное сопротивление \(R_{верх}\) = \(R\) ) :

\(I_{1} = \frac{U}{R_{верх}} = \frac{300R}{R} = 300 \text{ мА}\).

Ток через вторую параллельную ветвь (сопротивление \(R\)):

\(I_{2} = \frac{U}{R} = \frac{300R}{R} = 300 \text{ мА}\).

Ток через третью параллельную ветвь (сопротивление \(3R\)):

\(I_{3R} = 100 \text{ мА}\) (дано по условию).

Общий ток, втекающий в участок, равен сумме токов во всех параллельных ветвях:

\(I_{общий} = I_{1} + I_{2} + I_{3R} = 300 \text{ мА} + 300 \text{ мА} + 100 \text{ мА} = 700 \text{ мА}\).

Проверка:

Общее сопротивление системы параллельных ветвей: \(R_{экв} = \frac{3R}{7}\).

Общий ток: \(I_{общий} = 700 \text{ мА}\).

Напряжение: \(U = I_{общий} · R_{экв} = 700 \text{ мА} · \frac{3R}{7} = 100 · 3R = 300R \text{ (мА \u00B7 R)}\).

Это напряжение совпадает с напряжением, рассчитанным для нижней ветви. Следовательно, расчет верен.

Ответ: 700 мА.