Чему равен отрезок AB?

Дано:

Периметр \( \triangle ABC = 42 \) см.

\( D \) на \( AC \), \( F \) на \( BC \).

\( DE \perp AB \), \( FM \perp AB \).

\( AD = FB \).

\( DC = CF \).

\( AC = 15 \) см.

\( MB = 3 \) см.

Найти: \( AB \)

Решение:

1. Так как \( DC = CF \), то \( C \) — середина отрезка \( DF \).
2. Так как \( DE \perp AB \) и \( FM \perp AB \), то \( DE \parallel FM \).
3. Рассмотрим \( \triangle CDE \) и \( \triangle CFM \). \( \angle CED = \angle CMF = 90^{\circ} \). \( \angle DCE = \angle FCM \) (вертикальные углы). \( DC = CF \) (по условию). Следовательно, \( \triangle CDE = \triangle CFM \) по гипотенузе и острому углу.
4. Из равенства треугольников следует, что \( DE = FM \) и \( CE = CM \).
5. Рассмотрим \( \triangle ADE \) и \( \triangle BFM \). \( \angle AED = \angle BFM = 90^{\circ} \). \( AD = FB \) (по условию). \( DE = FM \) (из равенства \( \triangle CDE = \triangle CFM \)). Следовательно, \( \triangle ADE = \triangle BFM \) по катету и гипотенузе.
6. Из равенства треугольников следует, что \( AE = BM = 3 \) см.
7. Найдём \( AC \): \( AC = AD + DC \). \( 15 = AD + DC \).
8. Найдём \( BC \): \( BC = BF + FC \).
9. Так как \( AD = FB \) и \( DC = CF \), то \( AC = BC = 15 \) см.
10. Периметр \( \triangle ABC = AB + AC + BC \). \( 42 = AB + 15 + 15 \). \( 42 = AB + 30 \). \( AB = 42 - 30 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.