Чему равен угол DFE?

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Известны углы \(\angle A = 60^{\circ}\), \(\angle B = 70^{\circ}\) и \(\angle C = 50^{\circ}\). Теперь найдем углы треугольника DEF. Точки касания окружности со сторонами треугольника делят стороны на отрезки, касательные, проведенные из одной точки, равны. Значит, AF = AD, BD = BE, CE = CF. Углы \(\angle ADF = \angle AFD\), \(\angle DBE = \angle DEB\), \(\angle ECF = \angle CFE\) как углы при основании равнобедренных треугольников. \(\angle ADF = \angle AFD = (180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}\) \(\angle BDE = \angle BED = (180^{\circ} - 70^{\circ}) / 2 = 110^{\circ} / 2 = 55^{\circ}\) \(\angle CEF = \angle CFE = (180^{\circ} - 50^{\circ}) / 2 = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ}\) Угол \(\angle DFE\) является смежным с углами \(\angle AFD\) и \(\angle CFE\). \(\angle DFE = 180^{\circ} - (\angle AFD + \angle CFE) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}\) Ответ: \(\angle DFE = 55^{\circ}\)