Чему равен угол С?

Предположим, что угол C равен 30 градусам. В треугольнике ABC угол B прямой, BD высота треугольника, AC = 32 см, AB = 2BD. Пусть BD = x, тогда AB = 2x. В прямоугольном треугольнике ABD: $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{4x^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$$. В прямоугольном треугольнике ABC: $$tg(C) = \frac{AB}{BC}$$. $$tg(30) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$. Значит: $$\frac{2x}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, откуда $$BC = \frac{6x}{\sqrt{3}} = 2x\sqrt{3}$$. Из теоремы Пифагора для треугольника ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$32^2 = (2x)^2 + (2x\sqrt{3})^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$$ $$x^2 = \frac{32^2}{16} = \frac{1024}{16} = 64$$ $$x = \sqrt{64} = 8$$. Значит, $$BD = 8$$, $$AB = 2 * 8 = 16$$, $$BC = 2 * 8 * \sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$, $$AD = 8\sqrt{3}$$. В прямоугольном треугольнике BDC: $$DC = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 - 8^2} = \sqrt{768 - 64} = \sqrt{704} = 8\sqrt{11}$$. Тогда $$AC = AD + DC = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{11} = 8(\sqrt{3} + \sqrt{11}) = 32$$. $$(\sqrt{3} + \sqrt{11}) = 4$$. Это неверно, так как $$(\sqrt{3} + \sqrt{11}) \approx 1.732 + 3.317 = 5.049$$. Предположим, что угол C равен 45 градусам. Тогда треугольник ABC - прямоугольный и равнобедренный (углы A и C по 45 градусов). Следовательно, AB = BC. Так как AC = 32, то по теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$32^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$$ $$AB^2 = \frac{32^2}{2} = \frac{1024}{2} = 512$$ $$AB = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}$$. Так как AB = 2BD, то $$BD = \frac{AB}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике BDC: $$sin(C) = \frac{BD}{BC}$$ $$sin(45) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. $$\frac{BD}{BC} = \frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$. Это неверно. $$sin(45) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$$, а $$\frac{1}{2} = 0.5$$. Пусть угол C = 60 градусов. Тогда угол A = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике ABC: $$BC = AC * cos(C) = 32 * cos(60) = 32 * \frac{1}{2} = 16$$ и $$AB = AC * sin(C) = 32 * sin(60) = 32 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$$. Так как AB = 2BD, то $$BD = \frac{AB}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$. В прямоугольном треугольнике BDC: $$sin(C) = \frac{BD}{BC} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Это верно. $$sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Ответ: 60°