Чему равно наименьшее натуральное число А, такое, что произведение A · (A + 1) · (A + 2) · (A + 3) делится на 1000.

Решение:

Нам нужно найти наименьшее натуральное число \( A \), такое, что произведение \( P = A \cdot (A + 1) \cdot (A + 2) \cdot (A + 3) \) делится на \( 1000 \).

Разложим \( 1000 \) на простые множители: \( 1000 = 10^3 = (2 · 5)^3 = 2^3 · 5^3 = 8 · 125 \).

Произведение четырёх последовательных натуральных чисел всегда делится на \( 4! = 24 \).

Рассмотрим делимость на \( 125 \). Так как \( A, A+1, A+2, A+3 \) — четыре последовательных числа, то одно из них должно делиться на \( 5 \). Для делимости на \( 125 \) необходимо, чтобы либо одно из чисел делилось на \( 125 \), либо два числа делились на \( 5 \), либо одно делилось на \( 25 \) и другое на \( 5 \).

Рассмотрим случаи делимости на \( 5 \) и \( 25 \) для множителей \( A, A+1, A+2, A+3 \).

Случай 1: Одно из чисел делится на 125.

Наименьшее натуральное \( A \) в этом случае будет, когда \( A = 125 \). Тогда произведение равно \( 125 · 126 · 127 · 128 \), что делится на \( 125 \). Также в этом произведении есть чётные числа, значит, делимость на \( 8 \) выполнится.

Случай 2: Одно число делится на 25, а другое на 5.

Это возможно, если числа имеют вид \( 5k \) и \( 25m \).

• Если \( A = 25 \), то \( A+1=26, A+2=27, A+3=28 \). Произведение \( 25 · 26 · 27 · 28 \). Делится на 25, но не делится на 125.
• Если \( A+1 = 25 \) (то есть \( A=24 \)), то \( A=24, A+1=25, A+2=26, A+3=27 \). Произведение \( 24 · 25 · 26 · 27 \). Делится на 25, но не делится на 125.
• Если \( A+2 = 25 \) (то есть \( A=23 \)), то \( A=23, A+1=24, A+2=25, A+3=26 \). Произведение \( 23 · 24 · 25 · 26 \). Делится на 25, но не делится на 125.
• Если \( A+3 = 25 \) (то есть \( A=22 \)), то \( A=22, A+1=23, A+2=24, A+3=25 \). Произведение \( 22 · 23 · 24 · 25 \). Делится на 25, но не делится на 125.

Чтобы получить делимость на \( 125 \), нужно, чтобы числа были вида \( 5k \) и \( 5m \), где \( k · m \) делится на \( 25 \), или чтобы одно число делилось на \( 125 \).

Проверим варианты, когда два числа делятся на 5.

• \( A \) делится на 5, \( A+2 \) делится на 5. Их разность 2, что невозможно.
• \( A \) делится на 5, \( A+1 \) делится на 5. Их разность 1, что невозможно.
• \( A \) делится на 5, \( A+3 \) делится на 5. Их разность 3, что невозможно.
• \( A+1 \) делится на 5, \( A+2 \) делится на 5. Их разность 1, что невозможно.
• \( A+1 \) делится на 5, \( A+3 \) делится на 5. Их разность 2, что невозможно.
• \( A+2 \) делится на 5, \( A+3 \) делится на 5. Их разность 1, что невозможно.

Значит, только одно из четырёх чисел может делиться на 5. Чтобы произведение делилось на \( 125 \), одно из чисел должно делиться на \( 125 \), или одно на \( 25 \) и другое на \( 5 \), или одно на \( 5 \) и другое на \( 25 \).

Рассмотрим случаи, когда одно из чисел делится на \( 25 \).

• \( A = 25k \). Наименьшее \( A \) для делимости на 1000.
• \( A+1 = 25k \).
• \( A+2 = 25k \).
• \( A+3 = 25k \).

Поиск наименьшего A:

Попробуем подставлять значения \( A \), чтобы проверить делимость на \( 1000 \).

A = 15: \( 15 · 16 · 17 · 18 \). Делится на \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \). \( 15 \) делится на 5, \( 16 \) делится на 8. Произведение \( 15 · 16 = 240 \). \( 240 · 17 · 18 \). Не делится на 1000.

A = 20: \( 20 · 21 · 22 · 23 \). \( 20 \) делится на 5, \( 20 \) делится на 4. \( 22 \) делится на 2. Произведение содержит \( 5 · 4 · 2 = 40 \). Не делится на 1000.

A = 25: \( 25 · 26 · 27 · 28 \). Делится на 25, но не на 125. Произведение содержит \( 25 · 26 · 28 · 27 \). \( 25 \) имеет \( 5^2 \). \( 26 \) имеет \( 2 \). \( 28 \) имеет \( 2^2 \). \( 25 · 28 = 700 \). \( 700 · 26 · 27 \). Делится на 100. Не делится на 1000.

A = 125: \( 125 · 126 · 127 · 128 \). Делится на 125. Произведение содержит \( 125 \) и чётные числа. Делится на \( 125 \) и \( 8 \), значит, на \( 1000 \).

A = 100: \( 100 · 101 · 102 · 103 \). Делится на 100. \( 100 \) содержит \( 2^2 · 5^2 \). \( 102 \) содержит \( 2 \). \( 100 · 102 \) делится на \( 2^3 · 5^2 = 200 \). Не делится на 1000.

A = 75: \( 75 · 76 · 77 · 78 \). \( 75 = 3 · 25 \). \( 76 = 4 · 19 \). \( 78 = 2 · 39 \). Произведение содержит \( 25 \) и \( 4 · 2 = 8 \). \( 25 · 4 = 100 \). \( 100 · 2 = 200 \). Не делится на 1000.

A = 50: \( 50 · 51 · 52 · 53 \). \( 50 = 2 · 25 \). \( 52 = 4 · 13 \). Произведение содержит \( 25 · 4 = 100 \). \( 50 \) содержит \( 2 \). \( 100 · 2 = 200 \). Не делится на 1000.

A = 150: \( 150 · 151 · 152 · 153 \). \( 150 = 2 · 75 = 2 · 3 · 25 \). \( 152 = 8 · 19 \). Произведение содержит \( 25 · 8 = 200 \). Не делится на 1000.

A = 175: \( 175 · 176 · 177 · 178 \). \( 175 = 7 · 25 \). \( 176 = 16 · 11 \). Произведение содержит \( 25 · 16 \). \( 25 · 16 = 400 \). Не делится на 1000.

A = 200: \( 200 · 201 · 202 · 203 \). \( 200 = 2 · 100 = 2 · 4 · 25 \). \( 200 \) имеет \( 2^3 · 5^2 \). \( 202 \) имеет \( 2 \). \( 200 · 202 \) делится на \( 8 · 2 · 25 = 400 \). Не делится на 1000.

A = 250: \( 250 · 251 · 252 · 253 \). \( 250 = 2 · 125 \). Произведение делится на 125. \( 252 \) делится на 4. \( 250 · 252 \) делится на \( 125 · 4 = 500 \). Не делится на 1000.

A = 275: \( 275 · 276 · 277 · 278 \). \( 275 = 11 · 25 \). \( 276 = 4 · 69 \). Произведение делится на \( 25 · 4 = 100 \). \( 276 \) делится на 4. \( 275 · 276 \) делится на \( 100 · 4 = 400 \). Не делится на 1000.

A = 375: \( 375 · 376 · 377 · 378 \). \( 375 = 3 · 125 \). Произведение делится на 125. \( 376 \) делится на 8. \( 125 · 8 = 1000 \). Значит, произведение делится на 1000.

Наименьшее натуральное число \( A \) равно 375.

Ответ: 375.