Чему равно произведение: \((1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})(1-\frac{1}{16})\cdots(1-\frac{1}{1024})\)?

Знаменатели имеют вид квадратов последовательных чисел: \(4=2^2, 9=3^2, 16=4^2, \ldots, 1024=32^2\). Поэтому

\[\prod_{n=2}^{32}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^{32}\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=\left(\prod_{n=2}^{32}\frac{n-1}{n}\right)\left(\prod_{n=2}^{32}\frac{n+1}{n}\right).\]

Произведения телескопически сокращаются:

\[\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{31}{32}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{33}{32}=\frac{1}{2}\cdot\frac{33}{32}=\frac{33}{64}.\]

Ответ: \(\frac{33}{64}\).