Чему равно самое маленькое значение этого выражения? |x - 6|+|x + 4|.

Разбираемся с выражением

Нам нужно найти наименьшее значение выражения \( |x - 6| + |x + 4| \).

Вспомним, что такое модуль числа. Модуль числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Он всегда неотрицателен.

Выражение \( |x - 6| \) представляет собой расстояние от числа \( x \) до числа 6.

Выражение \( |x + 4| \) можно переписать как \( |x - (-4)| \), что означает расстояние от числа \( x \) до числа -4.

Таким образом, нам нужно найти такое число \( x \), для которого сумма расстояний от \( x \) до 6 и от \( x \) до -4 будет минимальной.

Геометрический смысл

Представим числовую прямую:

Минимальная сумма расстояний от точки \( x \) до двух других точек достигается тогда, когда точка \( x \) находится между этими двумя точками.

В нашем случае, точки — это -4 и 6. Значит, наименьшее значение выражения будет, когда \( x \) находится между -4 и 6 (включительно).

Расчет минимального значения

Когда \( x \) находится между -4 и 6, то есть \( -4 ≤ x ≤ 6 \):

• \( x - 6 ≤ 0 \), поэтому \( |x - 6| = -(x - 6) = 6 - x \).
• \( x + 4 ≤ 0 \) (так как \( x ≥ -4 \)), поэтому \( |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 \).

Сложим эти два выражения:

\[ |x - 6| + |x + 4| = (6 - x) + (-x - 4) \]

\[ 6 - x - x - 4 = 2 - 2x \]

Это не совсем то, что мы ожидали. Давайте пересмотрим. Если \( x \) находится между -4 и 6, то расстояние между -4 и 6 и будет минимальной суммой расстояний.

Расстояние между -4 и 6 равно:

\[ 6 - (-4) = 6 + 4 = 10 \]

Давайте проверим, что происходит, когда \( x \) находится внутри этого интервала. Например, возьмем \( x = 0 \):

\[ |0 - 6| + |0 + 4| = |-6| + |4| = 6 + 4 = 10 \]

Теперь возьмем \( x = 1 \):

\[ |1 - 6| + |1 + 4| = |-5| + |5| = 5 + 5 = 10 \]

Если \( x \) находится вне этого интервала:

Например, \( x = 7 \):

\[ |7 - 6| + |7 + 4| = |1| + |11| = 1 + 11 = 12 \]

Например, \( x = -5 \):

\[ |-5 - 6| + |-5 + 4| = |-11| + |-1| = 11 + 1 = 12 \]

Видно, что минимальное значение достигается, когда \( x \) находится между -4 и 6.

Вывод

Минимальное значение выражения \( |x - 6| + |x + 4| \) равно расстоянию между точками -4 и 6 на числовой прямой.

\[ 6 - (-4) = 10 \]

Ответ: 10.