1. Чему равны углы треугольников, на которые высота разбивает равносторонний треугольник? 2. В треугольнике ABD внешний угол при вершине D равен 114°. Найдите угол А, если он в 2 раза больше, чем угол В. 3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Докажи- те, что треугольник АМС - равнобедренный. 4. Чему равно основание равнобедренного треугольника. если известно, что две его стороны равны 6 и 3? Ответ обос нуйте.

Ответ: 1) 30° и 60°; 2) ∠A = 76°, ∠B = 38°; 3) доказано; 4) 6.

Решение:

1.

• В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
• Высота в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой.
• Высота делит угол при вершине (60°) на два равных угла по 30°.
• Высота образует прямой угол (90°) с основанием.
• Таким образом, углы, на которые высота разбивает равносторонний треугольник, равны 30° и 60°.

2.

• Внешний угол при вершине D равен 114°, следовательно, смежный с ним угол ∠ADB равен 180° - 114° = 66°.
• Пусть ∠B = x, тогда ∠A = 2x.
• Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°: ∠A + ∠B + ∠ADB = 180°.
• 2x + x + 66° = 180°
• 3x = 180° - 66°
• 3x = 114°
• x = 38°
• ∠B = 38°, ∠A = 2 * 38° = 76°.

3.

• В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.
• Биссектрисы углов A и C делят эти углы пополам, следовательно, ∠MAC = ∠MCA.
• В треугольнике AMC два угла равны, значит, он равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника).

4.

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны.
• Если основание равно 3, то боковые стороны равны 6 и 6.
• Если основание равно 6, то боковые стороны равны 3 и 3, но тогда треугольник не существует (сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны: 3 + 3 > 6 - неверно).
• Следовательно, основание равно 6.

Ответ: 1) 30° и 60°; 2) ∠A = 76°, ∠B = 38°; 3) доказано; 4) 6.