Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна β (0° < β < 180°). Найдите площадь образовавшегося сечения, если высота конуса равна H, а угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен α.

Сечение — треугольник с основанием, равным хорде основания конуса.

Обозначим через O центр основания, через M — середину хорды. Перпендикуляр OM к хорде проходит через её середину, поэтому в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания и половиной хорды, если R — радиус основания, то

\(OM=R\cos\frac{\beta}{2}\).

В сечении плоскостью, перпендикулярной хорде и проходящей через ось конуса, горизонтальное расстояние от проекции вершины конуса до хорды равно OM, а высота равна H. Из определения угла между плоскостями получаем

\(\tan\alpha=\frac{H}{OM}\), поэтому \(OM=H\cot\alpha\) и \(R=\frac{H\cot\alpha}{\cos(\beta/2)}\).

Длина хорды основания:

\(a=2R\sin\frac{\beta}{2}=2H\cot\alpha\tan\frac{\beta}{2}\).

Высота треугольника сечения, опущенная из вершины конуса на хорду, равна \(\sqrt{H^2+OM^2}=H\csc\alpha\).

Тогда площадь сечения:

\(S=\frac12 a\cdot H\csc\alpha=H^2\cot\alpha\csc\alpha\tan\frac{\beta}{2}=\frac{H^2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\tan\frac{\beta}{2}\).

Ответ: \(S=\frac{H^2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\tan\frac{\beta}{2}\).