Через две точки на сторонах угла $$KOM$$ величиной $$\alpha = 38^\circ$$ проведена прямая $$a$$. При этом образовался отмеченный на рисунке угол величиной $$\beta = 124^\circ$$. Угол какой величины $$\gamma$$ следует отложить от луча $$OM$$, чтобы вторая сторона этого угла была параллельна прямой $$a$$?

Решение:

Для того чтобы вторая сторона угла $$\gamma$$ была параллельна прямой $$a$$, необходимо, чтобы внутренние односторонние углы при пересечении прямой $$a$$ и этой стороны секущей $$OM$$ составляли в сумме 180 градусов.

Угол, смежный с углом $$\beta$$, равен $$180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$.

Сумма углов в треугольнике $$KON$$ равна $$180^\circ$$.

Угол $$ONK$$ равен углу $$\beta$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$a$$ и $$KM$$ и секущей $$KN$$, то есть $$\angle ONK = 124^\circ$$.

Тогда угол $$ONM$$, смежный с углом $$ONK$$, равен $$180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$.

Рассмотрим треугольник $$KON$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому:

$$\angle KNO + \angle NOK + \angle OKN = 180^\circ$$

$$\angle NOK = \alpha = 38^\circ$$

$$\angle OKN = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$

$$\angle KNO = 180^\circ - (38^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$$

$$\angle KNM = 180^\circ - \angle KNO = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ$$

Рассмотрим треугольник $$MNO$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle NMO + \angle MNO + \angle MON = 180^\circ$$

$$\angle MON = \gamma$$

$$\angle MNO = 180^\circ - \angle ONK = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$

$$\angle NMO = 180^\circ - 56^\circ - 38^\circ = 86^\circ$$

Так как прямая $$a$$ параллельна второй стороне угла $$\gamma$$, то внутренние односторонние углы в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\gamma + (180^\circ - \beta) = 180^\circ$$

$$\gamma = \beta - 38^\circ = 124^\circ - 38^\circ = 86^\circ$$

Таким образом, угол $$\gamma$$ должен быть равен $$38^\circ$$.

Для того чтобы луч угла $$\gamma$$ был параллелен прямой $$a$$, необходимо, чтобы сумма углов $$\alpha$$ и $$\gamma$$ равнялась углу $$\beta$$, то есть:

$$\gamma + \alpha = \beta$$

$$\gamma = \beta - \alpha$$

$$\gamma = 124^\circ - 38^\circ = 86^\circ$$

Ответ: $$\gamma = 86^\circ$$