Через конечную точку D диагонали BD = 25,4 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали BD. Проведённая прямая пересекает прямые BA и BC в точках М и N соответственно. Определи длину отрезка MN.

Question

Вопрос:

Через конечную точку D диагонали BD = 25,4 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали BD. Проведённая прямая пересекает прямые BA и BC в точках М и N соответственно. Определи длину отрезка MN.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

ABCD — квадрат.
BD = 25,4 ед. изм.
Прямая MN ⊥ BD, M ∈ BA, N ∈ BC.

Найти: MN.

Решение:

Свойства квадрата: В квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Диагональ BD: Так как ABCD — квадрат, то диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке O.

$$BO = OD = rac{1}{2} BD = rac{1}{2} imes 25,4 = 12,7$$ ед. изм.

Прямая MN: Прямая MN проходит через точку D и перпендикулярна диагонали BD.
Пересечение с BA и BC:

Так как MN ⊥ BD и BD ⊥ AC, то MN || AC.
Рассмотрим треугольник ABD. Диагональ BD является биссектрисой и медианой.
В треугольнике BCD, точка D — вершина, BC и CD — стороны.
Точка M лежит на BA, точка N лежит на BC.
Рассмотрим треугольники BDM и BND.
Так как MN || AC, по теореме Фалеса (или подобию треугольников), отношение отрезков на сторонах BA и BC будет пропорционально расстоянию от точки B.
В квадрате диагонали образуют углы 45° с его сторонами.
В треугольнике BDM, угол MBD = 45°.
Угол BDM = 90°.
Следовательно, треугольник BDM — прямоугольный и равнобедренный, т.е. $$BM = DM$$.
Аналогично, в треугольнике BND, угол NBD = 45°.
Угол BDN = 90°.
Следовательно, треугольник BND — прямоугольный и равнобедренный, т.е. $$BN = DN$$.
Так как MN || AC, то треугольник BMN подобен треугольнику BAC.
Отношение подобия равно отношению сторон.
Рассмотрим треугольник BCD. Диагональ BD. Прямая MN проходит через D перпендикулярно BD.
Так как MN || AC, то точка M лежит на BA, N на BC.
Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок DN — высота из D к BC, если бы MN была параллельна CD.
По условию, MN ⊥ BD.
В квадрате диагонали перпендикулярны.
$$BD ot AC$$.
$$MN ot BD$$.
Следовательно, $$MN ext{ || } AC$$.
Рассмотрим треугольник BCD.
Поскольку MN || AC, то треугольник BMN подобен треугольнику BAC.
Угол BAC = 45°, угол BCA = 45°.
В треугольнике BDM, угол MBD = 45°. Угол BDM = 90°. Значит, угол BMD = 45°.
Следовательно, треугольник BDM — равнобедренный, $$BM = DM$$.
В треугольнике BND, угол NBD = 45°. Угол BDN = 90°. Значит, угол BND = 45°.
Следовательно, треугольник BND — равнобедренный, $$BN = DN$$.
Рассмотрим треугольник BCD.
Диагональ BD. Прямая, проходящая через D перпендикулярно BD, пересекает BA в точке M и BC в точке N.
Так как MN || AC, то точка M делит сторону BA, а точка N делит сторону BC.
Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок DN является высотой из D на BC, если бы MN была параллельна CD.
Но MN || AC.
Рассмотрим треугольник BCD. BD — диагональ.
Угол CBD = 45°.
В треугольнике BND, угол NBD = 45°. угол BDN = 90°. Значит, угол BND = 45°.
Треугольник BND — равнобедренный, $$BN = DN$$.
Аналогично, в треугольнике BDM, угол MBD = 45°. угол BDM = 90°. Значит, угол BMD = 45°.
Треугольник BDM — равнобедренный, $$BM = DM$$.
Теперь найдем длину DN.
Рассмотрим треугольник BCD.
CD = BC. $$BD = rac{a}{ an 45^ ext{o}} = arac{ an 45^ ext{o}}{ an 45^ ext{o}}$$.
Сторона квадрата $$a$$. $$BD = arac{ an 45^ ext{o}}{ an 45^ ext{o}}$$.
$$BD = arac{ an 45^ ext{o}}{ an 45^ ext{o}}$$.
$$BD = a imes ext{sqrt(2)}$$.
$$a = rac{BD}{ ext{sqrt(2)}} = rac{25,4}{ ext{sqrt(2)}}$$.
$$DN$$ — это высота в треугольнике BCD, проведенная из вершины D к стороне BC, но под углом 90° к диагонали BD.
Рассмотрим треугольник BCD. BD — диагональ.
Угол CBD = 45°.
В треугольнике BND, угол NBD = 45°. Угол BDN = 90°.
$$DN = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.
$$DM = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.
$$MN = DM + DN$$ (если D лежит между M и N).
Так как MN проходит через D, и M лежит на BA, N на BC, то D лежит между M и N.
$$MN = 2 imes DM = 2 imes rac{25,4 imes ext{sqrt(2)}}{2} = 25,4 imes ext{sqrt(2)}$$.
Перепроверим:
В квадрате ABCD, диагональ BD = 25.4.
Пусть сторона квадрата равна 'a'. Тогда $$BD = a ext{sqrt(2)}$$.
$$a = rac{25.4}{ ext{sqrt(2)}}$$.
Прямая MN проходит через D перпендикулярно BD.
Угол между BA и BD равен 45°. Угол между BC и BD равен 45°.
В треугольнике BDM, угол MBD = 45°, угол BDM = 90°. Значит, угол BMD = 45°.
Треугольник BDM — прямоугольный равнобедренный. $$BM = DM$$.
$$BD$$ — гипотенуза для треугольника BDM, если бы M была на продолжении BA.
Нет, BD — это отрезок, а M и N лежат на прямых BA и BC.
Угол DBA = 45°. Угол DBC = 45°.
В треугольнике BDM: $$ riangle MBD$$. Угол MBD = 45°. Угол BDM = 90°.
$$DM = BD imes ext{tg}(45^ ext{o})$$? Нет.
В прямоугольном треугольнике BDM:

$$rac{DM}{ ext{sin}(45^ ext{o})} = rac{BM}{ ext{sin}(45^ ext{o})} = rac{BD}{ ext{sin}(90^ ext{o})}$$
$$DM = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.
$$BM = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике BND:

$$rac{DN}{ ext{sin}(45^ ext{o})} = rac{BN}{ ext{sin}(45^ ext{o})} = rac{BD}{ ext{sin}(90^ ext{o})}$$
$$DN = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.
$$BN = BD imes ext{sin}(45^ ext{o}) = 25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}$$.

$$MN = DM + DN$$ (поскольку D лежит между M и N).
$$MN = 2 imes (25,4 imes rac{ ext{sqrt(2)}}{2}) = 25,4 imes ext{sqrt(2)}$$.
Ошибка в логике. Точка M лежит на прямой BA, а не на отрезке BA.
Рассмотрим точку D. Диагональ BD. Прямая MN проходит через D перпендикулярно BD.
$$MN ot BD$$.
Так как ABCD - квадрат, $$BD ot AC$$.
Следовательно, $$MN ext{ || } AC$$.
Пусть O — точка пересечения диагоналей. $$DO = rac{1}{2} BD = 12,7$$.
Рассмотрим $$ riangle BCD$$.
$$DN$$ — перпендикуляр из D на BC, если бы MN была параллельна CD.
Но $$MN ext{ || } AC$$.
Рассмотрим $$ riangle BCD$$.
$$ ext{tg}( ext{angle } CBD) = rac{CD}{BC} = 1$$. $$ ext{angle } CBD = 45^ ext{o}$$.
В $$ riangle BND$$, $$ ext{angle } NBD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } BDN = 90^ ext{o}$$.
Следовательно, $$ riangle BND$$ — прямоугольный равнобедренный. $$BN = DN$$.
$$DN = rac{BD}{ ext{sqrt(2)}}$$? Нет.
Рассмотрим $$ riangle BCD$$.
$$DN$$ — это высота, проведенная из D к BC.
$$DN = CD imes ext{sin}( ext{angle } BCD)$$? Нет.
В $$ riangle BND$$: $$ ext{angle } NBD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } BDN = 90^ ext{o}$$.
$$DN = BD imes ext{tg}(45^ ext{o})$$? Нет.
$$DN = rac{ ext{BD}}{ ext{tg}(45^ ext{o})} = BD = 25,4$$. Это неправильно.
В $$ riangle BND$$, $$ ext{angle } NBD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } BDN = 90^ ext{o}$$.
$$DN = BD imes ext{sin}(45^ ext{o})$$? Нет.
$$DN = BD imes ext{tg}(45^ ext{o})$$. Это неверно.
В $$ riangle BND$$, $$DN$$ — катет, $$BD$$ — катет.
$$ ext{tg}( ext{angle } NBD) = rac{DN}{BD}$$.
$$ ext{tg}(45^ ext{o}) = rac{DN}{25,4}$$.
$$1 = rac{DN}{25,4} ightarrow DN = 25,4$$.
Аналогично, в $$ riangle BDM$$, $$ ext{angle } MBD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } BDM = 90^ ext{o}$$.
$$ ext{tg}( ext{angle } MBD) = rac{DM}{BD}$$.
$$ ext{tg}(45^ ext{o}) = rac{DM}{25,4}$$.
$$1 = rac{DM}{25,4} ightarrow DM = 25,4$$.
$$MN = DM + DN = 25,4 + 25,4 = 50,8$$.
Почему D находится между M и N?
Прямая MN проходит через D перпендикулярно BD.
M лежит на BA, N лежит на BC.
Рассмотрим $$ riangle ABC$$. BD — диагональ.
$$ ext{angle } ABD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } CBD = 45^ ext{o}$$.
В $$ riangle BDM$$, $$ ext{angle } MBD = 45^ ext{o}$$, $$ ext{angle } BDM = 90^ ext{o}$$.
Это означает, что M лежит на прямой, проходящей через D под углом 45° к BD.
Рассмотрим $$ riangle ABD$$. BD — диагональ.
В $$ riangle BDM$$, $$ ext{angle } MBD = 45^ ext{o}$$. $$ ext{angle } BDM = 90^ ext{o}$$.
$$DM = BD imes ext{tg}(45^ ext{o})$$. Это неверно, BD - катет, DM - катет.
$$ ext{tg}(45^ ext{o}) = rac{DM}{BD}$$.
$$DM = BD = 25,4$$.
$$ ext{tg}(45^ ext{o}) = rac{DN}{BD}$$.
$$DN = BD = 25,4$$.
$$MN = DM + DN = 25,4 + 25,4 = 50,8$$.
Проверка:
В квадрате ABCD, диагонали AC и BD.
$$BD = 25,4$$.
Прямая MN проходит через D, $$MN ot BD$$.
M на BA, N на BC.
$$MN ext{ || } AC$$.
Рассмотрим $$ riangle BCD$$.
$$ ext{angle } CBD = 45^ ext{o}$$.
В $$ riangle BND$$, $$ ext{angle } NBD = 45^ ext{o}$$, $$ ext{angle } BDN = 90^ ext{o}$$.
$$DN = BD imes ext{ctg}(45^ ext{o}) = 25,4 imes 1 = 25,4$$.
$$BN = rac{BD}{ ext{sin}(45^ ext{o})} = rac{25,4}{rac{ ext{sqrt(2)}}{2}} = 25,4 imes ext{sqrt(2)}$$.
Аналогично для $$ riangle BDM$$: $$DM = BD imes ext{ctg}(45^ ext{o}) = 25,4$$.
$$BM = BD imes ext{ctg}(45^ ext{o}) = 25,4$$.
$$MN = DM + DN = 25,4 + 25,4 = 50,8$$.

Ответ: 50,8 ед. изм.