Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены касательные. Найдите угол между этими касательными.

Дано:

• Окружность с центром O.
• Хорда AB.
• Длина хорды AB = радиусу окружности (AB = OA = OB).
• Касательные к окружности в точках A и B.

Найти: Угол между касательными.

Решение:

1. Равносторонний треугольник: Поскольку хорда AB равна радиусу окружности (AB = OA = OB), треугольник OAB является равносторонним. Следовательно, все его углы равны 60° (∠OAB = ∠OBA = ∠AOB = 60°).
2. Свойства касательных: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
3. Углы с радиусами: Угол между касательной в точке A и радиусом OA равен 90°. Угол между касательной в точке B и радиусом OB равен 90°.
4. Четырёхугольник: Рассмотрим четырёхугольник, образованный центром окружности O, точками касания A и B, и точкой пересечения касательных (обозначим её C). В этом четырёхугольнике ∠OAC = 90° и ∠OBC = 90°.
5. Сумма углов четырёхугольника: Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
6. Вычисление угла: В четырёхугольнике OACB: ∠AOB + ∠OAC + ∠ACB + ∠OBC = 360°. Подставляем известные значения: 60° + 90° + ∠ACB + 90° = 360°.
7. Итоговый угол: 240° + ∠ACB = 360°. Отсюда ∠ACB = 360° - 240° = 120°.

Ответ: 120°