Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN = NC.

Проведём через точку C прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через D точку её пересечения с прямой MN.

1. Так как AB ∥ CD, а AM и CD лежат на параллельных прямых, MB ∥ CD.
2. По условию AM = MB. Кроме того, в параллелограмме BCDM противоположные стороны равны, поэтому MB = CD.
3. Следовательно, AM = CD.
4. Рассмотрим треугольники AMN и CDN. У них AM = CD; углы AMN и CDN равны как соответственные углы при параллельных прямых AB и CD, пересечённых прямой MN; углы ANM и CND равны как вертикальные.
5. Следовательно, треугольники AMN и CDN равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AN = NC.

Ответ: AN = NC.