Через середину O отрезка AB проведена прямая, перпендикулярная прямой AB (рис. 57). Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек A и B.

Пусть X — любая точка указанной прямой. Рассмотрим треугольники AOX и BOX.

1. AO = OB, поскольку O — середина AB.
2. OX — общая сторона треугольников.
3. ∠AOX = ∠BOX = 90°, поскольку прямая через O перпендикулярна AB.

Следовательно, треугольники AOX и BOX равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны AX и BX равны.

Ответ: AX = BX; точка X одинаково удалена от A и B.