Через середину Р гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересекает катет АС в точке F, а другая — катет ВС в точке К. Найдите отрезок FK, если AB = 32 см.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle C = 90^{\circ} \). \( AB \) — гипотенуза.

\( P \) — середина гипотенузы \( AB \). Следовательно, \( AP = PB = \frac{1}{2} AB \).

По условию \( AB = 32 \) см, поэтому \( AP = PB = \frac{32}{2} = 16 \) см.

Через точку \( P \) проведены прямые, параллельные катетам \( AC \) и \( BC \).

Прямая, параллельная \( BC \), пересекает \( AC \) в точке \( F \).

Прямая, параллельная \( AC \), пересекает \( BC \) в точке \( K \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и прямую \( PF \), которая параллельна \( BC \) и проходит через середину \( AB \). По теореме Фалеса (или теореме о средней линии треугольника, если \( F \) — середина \( AC \)) отрезок \( PF \) соединяет середины двух сторон и параллелен третьей стороне.

Если \( PF \parallel BC \) и \( P \) — середина \( AB \), то \( F \) — середина \( AC \). Тогда \( PF \) — средняя линия \( \triangle ABC \).

Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны: \( PF = \frac{1}{2} BC \).

Аналогично, рассмотрим прямую \( PK \), которая параллельна \( AC \) и проходит через середину \( AB \). Следовательно, \( K \) — середина \( BC \). Тогда \( PK \) — средняя линия \( \triangle ABC \).

Длина средней линии \( PK = \frac{1}{2} AC \).

Теперь рассмотрим четырёхугольник \( FKCP \).

\( PF \parallel BC \) (по построению), значит \( PF \parallel KC \) (так как \( K \) лежит на \( BC \)).

\( PK \parallel AC \) (по построению), значит \( PK \parallel FC \) (так как \( F \) лежит на \( AC \)).

Таким образом, \( FKCP \) — параллелограмм.

Кроме того, \( \angle C = 90^{\circ} \). Значит, \( FKCP \) — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали прямоугольника \( FKCP \) — это \( FK \) и \( PC \).

Значит, \( FK = PC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

\( PC \) — это медиана, проведённая к гипотенузе \( AB \).

Следовательно, \( PC = \frac{1}{2} AB \).

Так как \( AB = 32 \) см, то \( PC = \frac{32}{2} = 16 \) см.

Так как \( FK = PC \), то \( FK = 16 \) см.

Ответ: 16 см.