30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение:

• Шаг 1: Определим радиус сечения.

Пусть радиус шара равен \(R\). Плоскость проходит через середину радиуса, следовательно, расстояние от центра шара до плоскости равно \(\frac{R}{2}\). Радиус сечения \(r\) найдем по теореме Пифагора:

\[r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2}\] \[r = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}}\] \[r = \sqrt{\frac{3R^2}{4}}\] \[r = \frac{R\sqrt{3}}{2}\]

• Шаг 2: Найдем площадь сечения и площадь большого круга.

Площадь сечения:

\[S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi R^2}{4}\]

Площадь большого круга:

\[S_{\text{кр}} = \pi R^2\]

• Шаг 3: Найдем отношение площади сечения к площади большого круга.

\[\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{кр}}} = \frac{\frac{3\pi R^2}{4}}{\pi R^2} = \frac{3}{4}\]

Ответ: \(\frac{3}{4}\)