Через сторону AD ромба АBCD проведе- дена плоскость ADM так, что двугран- ный угол BADM равен 60°. Найдите сто- рону ромба, если / BAD = 45° и рассто- яние от точки В до плоскости ADM рав- но 4√3 (задача 176 учебника). Решение. Проведем перпендикуляр ВР к плоскости ADM. Искомое расстоя ние от точки В до плоскости ADM равно ВР. Проведем высоту ромба ВЕ. Тогда по- лучим, что из точки В к плоскости ADM проведены перпендикуляр и на- клонная Следовательно, отрезок РЕ - проек ция на Прямая AD, лежащая в плоскости ADM, перпендикулярна к наклон- ной ВЕ, а потому, согласно ADI угол Д ВРЕ прямоугольный, так как / ВЕР = BP = поэтому ВE = ИВЕР — линейный т.е. / ВЕР = причем ДВАЕ прямоугольный: LE= следовательно, АВ = Ответ.

• Проведен перпендикуляр BP к плоскости ADM и высота ромба BE.
• Отрезок PE - проекция наклонной BE на плоскость ADM.
• Прямая AD перпендикулярна к BE, так как AD перпендикулярна плоскости BPE.
• Угол \(/ BPE\) прямой, поскольку BP перпендикулярен плоскости ADM.

\(/ BEP\) — линейный угол двугранного угла BADM, значит, \(/ BEP = 60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике BPE:

• \(BP = 4\sqrt{3}\)
• \(BE = \frac{BP}{\sin{60^\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\)

В прямоугольном треугольнике ABE:

• \(/ E = 90^\circ\)
• \(/ A = 45^\circ\)
• \(BE = 8\)

Следовательно, треугольник ABE равнобедренный, и \(AE = BE = 8\).

По теореме Пифагора:

\(AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\)

Ответ: \(8\sqrt{2}\)