Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D - точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ◡BD = 110°20′.

Давайте решим эту задачу по геометрии вместе. У нас есть окружность с центром в точке O, из точки A проведены касательная AB и секущая AD. Нужно найти углы ∠BAD и ∠ADB, зная градусную меру дуги BD.

Вот план решения:

1. Найдем ∠BOD как центральный угол, опирающийся на дугу BD.
2. Найдем ∠ABD, зная, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними.
3. Найдем ∠ADB, используя свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.
4. Используем сумму углов треугольника ABD, чтобы найти ∠BAD.

Приступим к решению:

1. Шаг 1: Находим ∠BOD

   ∠BOD - центральный угол, опирающийся на дугу BD. Значит, его градусная мера равна градусной мере дуги BD:

   $$∠BOD = ◡BD = 110°20'$$

2. Шаг 2: Находим ∠ABD

   ∠ABD - угол между касательной AB и хордой BD. Он равен половине градусной меры дуги BD:

   $$∠ABD = \frac{1}{2} ◡BD = \frac{1}{2} cdot 110°20' = 55°10'$$

3. Шаг 3: Находим ∠ADB

   Так как AD проходит через центр O, то OD - радиус, и AD - диаметр окружности. ∠ABD опирается на диаметр AD, следовательно, он прямой:

   $$∠ABD = 90°$$

4. Шаг 4: Находим ∠BAD

   Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда:

   $$∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB$$

   Подставим известные значения:

   $$∠BAD = 180° - 55°10' - 90° = 34°50'$$

Ответ:

∠BAD = 34°50′

∠ADB = 90°