Через точку A, лежащую на окружности, проведена касательная. Известно, что угол AOK = 45°, AK = 8 см. Найди OK и площадь треугольника AOK.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(OA \perp AK\). Следовательно, треугольник \(AOK\) прямоугольный, причём \(\angle AOK=45^\circ\). Тогда второй острый угол также равен \(45^\circ\), поэтому треугольник является равнобедренным прямоугольным: \(OA=AK=8\) см.

По теореме Пифагора:

\[OK=\sqrt{OA^2+AK^2}=\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2\text{ см}.\]

Площадь треугольника:

\[S_{AOK}=\frac12\cdot OA\cdot AK=\frac12\cdot8\cdot8=32\text{ см}^2.\]

Ответ: \(OK=8\sqrt2\) см; \(S_{AOK}=32\) см².