Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причем АВ = 2, AC = 8. Найдите АК. Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р. ВР = 15, CP = 6, DP = 10. Найдите АР.

1.

По теореме о касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AK^2 = AB \cdot AC$$

Подставляем известные значения:

$$AK^2 = 2 \cdot 8 = 16$$

Извлекаем квадратный корень:

$$AK = \sqrt{16} = 4$$

Ответ: AK = 4.

2.

По теореме о пересекающихся хордах, если хорды AC и BD пересекаются в точке P, то выполняется равенство:

$$AP \cdot PC = BP \cdot PD$$

Пусть AP = x. Тогда PC = AC - AP = 6.

Подставляем известные значения:

$$x \cdot 6 = 15 \cdot 10$$
$$6x = 150$$

Делим обе части на 6:

$$x = \frac{150}{6} = 25$$

Ответ: AP = 25.