Через точку А, лежащую вне окружности, проведены касательные АВ и АС. Найдите градусную меру угла между касательными (см. рисунок), если градусные меры дуг, образованных точками касания, равны 98° и 262°.

Обозначим центр окружности точкой O. Известно, что градусная мера дуги BC равна 98°, а градусная мера большей дуги BC равна 262°. Угол между касательными AB и AC обозначим как ∠BAC. Касательные AB и AC образуют с радиусами OB и OC углы в 90° (так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).

Сумма углов четырёхугольника ABOC равна 360°. Значит:

∠BOC + ∠OBA + ∠OCA + ∠BAC = 360°

∠BOC = 262° (как центральный угол, опирающийся на большую дугу BC)

90° + 90° + 262° + ∠BAC = 360°

442° + ∠BAC = 360°

∠BAC = 360° - 442°

∠BAC = 82°

Либо, градусная мера угла между касательными равна полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между касательными:

∠BAC = (262° - 98°) / 2 = 164° / 2 = 82°

Или, угол между касательными равен половине разности между 360° и градусной мерой меньшей дуги:

∠BAC = (360° - 98°) / 2 = 262° / 2 = 131°

Но поскольку дуга 98°, то угол будет:

$$\frac{1}{2}$$ * (360° - 262°) = $$\frac{1}{2}$$ * 98° = 49°

Искомый угол равен полуразности большей и меньшей дуг, заключенных между касательными:

$$\frac{1}{2}$$(262° - 98°) = $$\frac{1}{2}$$ * 164° = 82°

Другой способ:

Сумма углов четырехугольника равна 360°:

∠BAC + ∠OCA + ∠OBA + ∠BOC = 360°

Т.к. ∠OCA = ∠OBA = 90° (касательная и радиус)

∠BAC + 90° + 90° + 98° = 360°

∠BAC = 360° - 90° - 90° - 98° = 82°

Ответ: 82