Через точку A окружности с центром O проведена касательная a к окружности. На прямой a по разные стороны от точки A отмечены точки B и C так, что AB = AC. Докажите, что OB = OC.

Дано: Окружность с центром O, прямая a - касательная к окружности в точке A, точки B и C лежат на прямой a, AB = AC.

Доказать: OB = OC.

Доказательство:

1. Т.к. прямая a - касательная к окружности в точке A, то OA перпендикулярна a (по свойству касательной). То есть $$OA \perp BC$$.
2. Рассмотрим треугольники OAB и OAC. У них:
• OA - общая сторона
• AB = AC (по условию)
• $$\angle OAB = \angle OAC = 90^{\circ}$$ (т.к. $$OA \perp BC$$)
3. Следовательно, треугольники OAB и OAC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников OAB и OAC следует, что OB = OC (как соответственные стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.