671 Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см.

Для решения задачи используем теорему о касательной и секущей.

Теорема: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть.

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

а) Дано: АВ = 4 см, АС = 2 см. Найти: CD

Пусть АВ - касательная, АСD - секущая. Тогда

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

$$4^2 = 2 \cdot AD$$

$$16 = 2 \cdot AD$$

$$AD = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$$

Так как AD = AC + CD, то CD = AD - AC

$$CD = 8 - 2 = 6 \text{ см}$$

б) Дано: АВ = 5 см, AD = 10 см. Найти: CD

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

$$5^2 = AC \cdot 10$$

$$25 = AC \cdot 10$$

$$AC = \frac{25}{10} = 2.5 \text{ см}$$

Так как AD = AC + CD, то CD = AD - AC

$$CD = 10 - 2.5 = 7.5 \text{ см}$$

Ответ: а) 6 см; б) 7.5 см