Через точку А проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ² = АР. AQ (теорема о квадрате касательной).

Для доказательства теоремы о квадрате касательной необходимо рассмотреть подобные треугольники.

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABQ\) и \(\triangle APB\).
2. \(\angle A\) - общий.
3. \(\angle ABQ\) = \(\angle APB\) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду).
4. Следовательно, \(\triangle ABQ \sim \triangle APB\) по двум углам.
5. Из подобия треугольников следует пропорция: \(\frac{AB}{AP} = \frac{AQ}{AB}\)
6. Отсюда получаем: \(AB^2 = AP \cdot AQ\)

Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что \(AB^2 = AP \cdot AQ\)