Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 6.

Решение:

Обозначим объём исходного конуса как \( V \) и объём отсечённого конуса как \( V_{отс} \).

По условию, точка делит высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины. Это означает, что высота отсечённого конуса \( h_{отс} \) составляет \( \frac{1}{3} \) от общей высоты конуса \( H \).

\( h_{отс} = \frac{1}{3} H \)

Объёмы подобных тел относятся как кубы их линейных размеров. В данном случае, отношение объёмов отсечённого конуса к исходному конусу равно кубу отношения их высот:

\( \frac{V_{отс}}{V} = \left( \frac{h_{отс}}{H} \right)^3 \)

Подставим известное отношение высот:

\( \frac{V_{отс}}{V} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} \)

Нам дан объём отсечённого конуса: \( V_{отс} = 6 \).

Теперь мы можем найти объём исходного конуса:

\( V = \frac{V_{отс}}{\frac{1}{27}} = V_{отс} \cdot 27 \)

\( V = 6 \cdot 27 \)

\( V = 162 \)

Ответ: 162