Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

Решение:

Пусть \(V\) — объём данного конуса, \(V_{\text{отс}}\)\ — объём отсекаемого конуса.

Высота отсекаемого конуса \(h_1\) относится к высоте большого конуса \(H\) как 1:4, считая от вершины. То есть \( h_1 = \frac{1}{4} H \).

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).

Конус, отсекаемый плоскостью, подобен данному конусу. Отношение объёмов подобных тел равно кубу отношения их линейных размеров (в данном случае — высот).

$$ \frac{V_{\text{отс}}}{V} = \left( \frac{h_1}{H} \right)^3 $$

Подставляем известные значения:

$$ \frac{10}{V} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 $$

$$ \frac{10}{V} = \frac{1}{64} $$

Теперь найдём \(V\):

$$ V = 10 \cdot 64 $$

$$ V = 640 $$

Ответ: 640.