1) Через точку K стороны AB прямоугольного треугольника проведена прямая, перпендикулярная гипотенузе BC и пересекающая её в точке M. Найдите BC, если AC = 20 см, KM = 8 см, KB = 10 см. 2) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Основания AD и BC равны соответственно 7,5 см и 2,5 см, BD = 12 см. Найдите BO и OD.

Задача 1: Дано: Прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 90 градусов. Прямая KM перпендикулярна BC, K лежит на AB, M лежит на BC. AC = 20 см, KM = 8 см, KB = 10 см. Найти: BC. Решение: 1. Треугольник KBM подобен треугольнику ABC, так как угол B общий и оба треугольника прямоугольные. 2. Запишем отношение сторон из подобия треугольников: \(\frac{KM}{AC} = \frac{KB}{AB}\) 3. Подставим известные значения: \(\frac{8}{20} = \frac{10}{AB}\) 4. Выразим AB: \(AB = \frac{10 * 20}{8} = 25\) см. 5. Теперь, когда известны AC и AB, найдем BC по теореме Пифагора: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) \(BC^2 = 25^2 + 20^2\) \(BC^2 = 625 + 400\) \(BC^2 = 1025\) \(BC = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}\) см. Ответ: \(5\sqrt{41}\) см Задача 2: Дано: Трапеция ABCD, диагонали пересекаются в точке O. AD = 7.5 см, BC = 2.5 см, BD = 12 см. Найти: BO и OD. Решение: 1. Треугольники BOC и AOD подобны, так как BC || AD (основания трапеции) и углы BOC и AOD вертикальные, а углы OBC и ODA накрест лежащие. 2. Запишем отношение сторон из подобия треугольников: \(\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}\) 3. Подставим известные значения: \(\frac{BO}{OD} = \frac{2.5}{7.5} = \frac{1}{3}\) 4. Пусть BO = x, тогда OD = 3x. 5. Известно, что BD = BO + OD, то есть 12 = x + 3x. 6. Решим уравнение: \(4x = 12\) \(x = 3\) см. 7. Следовательно, BO = 3 см, OD = 3 * 3 = 9 см. Ответ: BO = 3 см, OD = 9 см