Через точку М окружности проведена касательная МР, не параллельная диаметру NK (рис. 98). Найдите углы треугольника MNK, если \(\angle\) PMN = 130°.

Решение:

1. Угол \( \angle PMN \) является внешним углом для треугольника \( MNK \) при вершине \( M \), но это не совсем так, так как \( P \) находится на касательной.

2. Угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \) равен вписанному углу, опирающемуся на эту же хорду. Это угол \( \angle MKN \). Следовательно, \( \angle MKN = \angle PMN \) — это неверно, так как \( ∠PMN–130° \) - тупой угол, а вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \), будет острым.

3. Угол \( ∠PMN = 130° \) является смежным с углом \( ∠KMN \), который является частью треугольника \( MNK \). Однако, \( MP \) — касательная, а \( MN \) — хорда. Угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \) равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \( MN \). Этот вписанный угол — \( \angle MNK \) или \( \angle MKN \).

4. Давайте рассмотрим угол \( ∠PMN = 130° \). Это угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \). По теореме о касательной и хорде, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \( MN \). Таким вписанным углом является \( ∠MK N \). Таким образом, \( ∠MK N = 180° - 130° = 50° \), так как \( ∠PMN \) и \( ∠KMN \) в сумме составляют 180°, а \( ∠KMN \) не является углом между касательной и хордой. Угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \) — это \( ∠PMN \) или \( ∠PNM \) или \( ∠PMK \).

5. Угол \( ∠PMN = 130° \) - это угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \). Этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \( MN \). Угол \( ∠MK N \) опирается на дугу \( MN \). Поэтому \( ∠MK N = 130° \) - это неверно, т.к. вписанный угол острый.

6. Рассмотрим угол \( ∠PMN = 130° \). Угол между касательной \( MP \) и хордой \( MN \) равен \( 180° - 130° = 50° \). Этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на дугу \( MN \). Этим углом является \( ∠MKN \). Значит, \( ∠MKN = 50° \).

7. \( NK \) — диаметр. Значит, угол \( ∠MNK \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно, \( ∠MNK = 90° \).

8. В треугольнике \( MNK \) сумма углов равна 180°. Мы нашли \( ∠MKN = 50° \) и \( ∠MNK = 90° \). Тогда \( ∠NMK = 180° - 90° - 50° = 40° \).

9. Проверим: угол между касательной \( MP \) и хордой \( MK \) равен вписанному углу \( ∠MNK = 90° \). Угол \( ∠PMK = ∠PMN - ∠KMN = 130° - 40° = 90° \). Это совпадает. Значит, \( ∠PMK \) равен \( ∠MNK \) (вписанный угол, опирающийся на дугу \( MK \)).

Ответ: Углы треугольника MNK равны: \( ∠MNK = 90° \), \( ∠MKN = 50° \), \( ∠NMK = 40° \).