Доказательство:

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата $$ABCD$$. Проведем через точку $$O$$ две взаимно перпендикулярные прямые $$l_1$$ и $$l_2$$, пересекающие стороны квадрата в точках $$P, Q, R, S$$, как показано на рисунке (к сожалению, я не могу предоставить рисунок).

1. Так как $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата, то $$O$$ является центром симметрии квадрата. Следовательно, отрезки $$PO = OR$$ и $$QO = OS$$.
2. Рассмотрим треугольники $$POB$$ и $$QOC$$. Угол $$\angle POB = \angle QOC = 90°$$ (по условию), $$OB = OC$$ (так как диагонали квадрата равны и делятся точкой пересечения пополам). Кроме того, $$\angle OBP = \angle OCQ = 45°$$ (так как диагонали квадрата являются биссектрисами его углов). Следовательно, треугольники $$POB$$ и $$QOC$$ равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда, $$PB = QC$$.
3. Аналогично можно показать, что все отрезки, образующиеся при пересечении прямых со сторонами квадрата, равны. Например, $$AP = BQ = CR = DS = PB = QC = RD = SA$$.
4. Так как все стороны четырехугольника $$PQRS$$ равны и углы между ними прямые, то $$PQRS$$ — квадрат.

Таким образом, точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата, что и требовалось доказать.