Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: 1) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD; 2) расстояние между прямыми АК и CD

1) Расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD.

Пусть AK = x. Так как ABCD - прямоугольник, то \( \angle BAK = \angle DAK = \angle CAK = 90^{\circ} \).

Рассмотрим три прямоугольных треугольника: \( \triangle ABK, \triangle ADK, \triangle ACK \).

По теореме Пифагора:

\( BK^2 = AK^2 + AB^2 \Rightarrow AB^2 = BK^2 - AK^2 = 7^2 - x^2 = 49 - x^2 \)

\( DK^2 = AK^2 + AD^2 \Rightarrow AD^2 = DK^2 - AK^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2 \)

\( CK^2 = AK^2 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = CK^2 - AK^2 = 9^2 - x^2 = 81 - x^2 \)

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABC \). По теореме Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \), где \( BC = AD \).

Тогда:

\( 81 - x^2 = (49 - x^2) + (36 - x^2) \)

\( 81 - x^2 = 85 - 2x^2 \)

\( 2x^2 - x^2 = 85 - 81 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = 2 \)

Значит, расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD равно 2 см.

Ответ: 2 см.

2) Расстояние между прямыми АК и CD.

Прямые AK и CD - скрещивающиеся прямые, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Расстояние между скрещивающимися прямыми - это расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.

Так как \( AK \perp (ABCD) \), то \( AK \perp CD \).

Прямая CD лежит в плоскости (ABCD), значит плоскость, проходящая через AK и параллельная CD, будет перпендикулярна плоскости (ABCD).

Тогда расстояние между AK и CD равно расстоянию от прямой CD до точки A, то есть AD.

Ранее получили, что \( AD^2 = 36 - x^2 \), где \( x = 2 \).

\( AD^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32 \)

\( AD = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \)

Значит, расстояние между прямыми АК и CD равно \( 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 4\sqrt{2} \) см.