3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 6 см и BC = 8 см. Угол C - прямой. Проведем высоту CH к гипотенузе AB.

2. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

3. Найдем площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$.

4. Найдем высоту CH: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \text{ см}$$.

5. Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный. $$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = \sqrt{36 - 23.04} = \sqrt{12.96} = 3.6 \text{ см}$$.

6. Рассмотрим треугольник BCH. Он прямоугольный. $$BH = AB - AH = 10 - 3.6 = 6.4 \text{ см}$$.

7. Найдем площадь треугольника ACH: $$S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 3.6 \cdot 4.8 = 8.64 \text{ см}^2$$.

8. Найдем площадь треугольника BCH: $$S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6.4 \cdot 4.8 = 15.36 \text{ см}^2$$.

Ответ: 8.64; 15.36