399. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная биссектрисе АМ треугольника и пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите углы треугольника АКС, если ∠BAC = 70°.

1) Обозначим углы треугольника ABC: ∠BAC = ∠A, ∠ABC = ∠B, ∠BCA = ∠C.

2) AM - биссектриса угла A, значит, ∠BAM = ∠MAC = ∠A / 2 = 70° / 2 = 35°.

3) Прямая CK параллельна AM, значит, ∠MCA = ∠ACK (накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и CK и секущей AC).

4) ∠MAC = ∠ACK = 35°.

5) CK параллельна AM, значит, ∠BAM = ∠BKC (соответственные углы при параллельных прямых AM и CK и секущей AB).

6) ∠BKC = ∠BAM = 35°.

7) ∠AKC и ∠BKC - смежные углы, значит, ∠AKC = 180° - ∠BKC = 180° - 35° = 145°.

8) В треугольнике AKC: ∠KAC = ∠BAC = 70°, ∠AKC = 145°. Найдем ∠ACK:

$$∠ACK = 180° - ∠KAC - ∠AKC = 180° - 70° - 145° = -35°$$

Угол не может быть отрицательным, значит, в условии задачи есть ошибка. Должно быть, что прямая, параллельная биссектрисе АМ, пересекает продолжение прямой АВ за точку В.

9) Если прямая CK пересекает продолжение прямой AB за точку B, то ∠AKC = ∠BAM = 35° (соответственные углы при параллельных AM и CK и секущей AB).

10) В треугольнике AKC: ∠KAC = ∠BAC = 70°, ∠AKC = 35°. Найдем ∠ACK:

$$∠ACK = 180° - ∠KAC - ∠AKC = 180° - 70° - 35° = 75°$$

Ответ: ∠KAC = 70°, ∠AKC = 35°, ∠ACK = 75°.