248 Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1 и пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что АС = AD.

Доказательство: 1. Дано: Треугольник \(\triangle ABC\), \(AA_1\) – биссектриса угла \(\angle BAC\), прямая \(CD \parallel AA_1\), точка \(D\) лежит на прямой \(AB\). 2. Требуется доказать: \(AC = AD\). 3. Доказательство: * Поскольку \(CD \parallel AA_1\), то \(\angle CAA_1 = \angle ACD\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(CD\) и \(AA_1\) и секущей \(AC\)). * Также, \(\angle DAA_1 = \angle ADC\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(CD\) и \(AA_1\) и секущей \(AB\)). * Так как \(AA_1\) – биссектриса угла \(\angle BAC\), то \(\angle CAA_1 = \angle DAA_1\). * Следовательно, \(\angle ACD = \angle ADC\) (поскольку оба угла равны \(\angle CAA_1\)). * Значит, треугольник \(\triangle ADC\) – равнобедренный с основанием \(DC\) (по признаку равнобедренного треугольника: если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный). * Следовательно, \(AC = AD\) (как боковые стороны равнобедренного треугольника). Что и требовалось доказать. Развернутый ответ для школьника: Представь себе треугольник ABC. Из угла A выходит биссектриса, которая делит угол пополам. Затем, через вершину C проводится линия, параллельная этой биссектрисе, и эта линия пересекает сторону AB в точке D. Нам нужно доказать, что отрезок AC равен отрезку AD. Поскольку линия CD параллельна биссектрисе AA₁, углы CAA₁ и ACD равны (как накрест лежащие). Также углы DAA₁ и ADC равны (как соответственные). Так как AA₁ – биссектриса, углы CAA₁ и DAA₁ равны между собой. Из этого следует, что углы ACD и ADC тоже равны. Если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный. В нашем случае треугольник ADC равнобедренный, а это означает, что стороны AC и AD равны.