0. Через вершину С треугольника CDE параллельно стороне ED провели прямую AB. Известно, что CF биссектриса угла DCE, ∠CDF = 40°,∠CEF = 60° Найдите угол ACF. Ответ дайте в градусах. 1. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? В ответе укажите номера этих утверждений. 1) Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в два раза больше другого. 2) В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза меньше другого. 3) При пересечении двух любых прямых сумма образованных ими вертикальных углов равна 180°. 4) В любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других сторон. 2. Укажите номер верного утверждения. 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. 2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 3) Через любую точку проходит не более одной прямой. 4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки. 3. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера. 1) Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла. 2) Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный. 3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. 4) В любом треугольнике хотя бы один из углов не превосходит 60°. 4. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

1. Истинные высказывания:

Давай разберем каждое утверждение по порядку:

1. "Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в два раза больше другого." Это утверждение истинно. Например, равнобедренный треугольник с углами 36°, 72° и 72° удовлетворяет условию.
2. "В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза меньше другого." Это утверждение не всегда верно. Оно может быть верным, но не для всех прямоугольных треугольников.
3. "При пересечении двух любых прямых сумма образованных ими вертикальных углов равна 180°." Вертикальные углы равны, а их сумма может быть любой, но не обязательно 180°.
4. "В любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других сторон." Это утверждение истинно, оно известно как неравенство треугольника.

Ответ: 1, 4

2. Верное утверждение:

Снова рассмотрим каждое утверждение:

1. "Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны." Это истинное утверждение.
2. "Любые две прямые имеют не менее одной общей точки." Это неверно, так как параллельные прямые не имеют общих точек.
3. "Через любую точку проходит не более одной прямой." Это неверно, через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
4. "Любые три прямые имеют не менее одной общей точки." Это неверно, три прямые могут быть параллельными или пересекаться в разных точках.

Ответ: 1

3. Верные утверждения:

1. "Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла." Это истинное утверждение по свойству биссектрисы.
2. "Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный." Это неверно. Треугольник может быть прямоугольным или тупоугольным, если у него есть острый угол.
3. "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов." Это неверно. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
4. "В любом треугольнике хотя бы один из углов не превосходит 60°." Это истинное утверждение. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, хотя бы один из углов должен быть не больше 60°.

Ответ: 1, 4

4. Найти величину угла CAB:

Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC. Обозначим внешний угол при вершине B как ∠XBC. Так как биссектриса параллельна AC, то ∠XBC = 2 * ∠BAC (так как биссектриса делит внешний угол пополам).
Угол ∠XBC является смежным с углом ∠ABC, поэтому ∠XBC = 180° - ∠ABC = 180° - 36° = 144°.
Тогда ∠BAC = ∠XBC / 2 = 144° / 2 = 72°.

Ответ: 72