152 Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпенди- кулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до пря- мых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

152. Дано: ABCD - квадрат, BF перпендикулярна плоскости ABCD, BF = 8 дм, AB = 4 дм.

Найти расстояние от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата.

Решение:

Так как BF перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то BF перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Рассмотрим треугольник BFA - прямоугольный, так как BF перпендикулярна BA.

По теореме Пифагора FA =$$\sqrt{BF^2 + AB^2}$$.

FA = $$\sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ (дм).

FA = FC = $$4\sqrt{5}$$ дм (как расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны квадрата).

Рассмотрим квадрат ABCD. AC - диагональ квадрата. Рассмотрим треугольник ABC - прямоугольный, АВ = ВС = 4 дм.

По теореме Пифагора AC = $$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ (дм).

Пусть О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, тогда AO = OC = $$\frac{1}{2}$$AC = $$\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ (дм).

Рассмотрим треугольник BFO - прямоугольный, так как BF перпендикулярна BO. BO = $$\frac{1}{2}$$BD, BD = AC = $$4\sqrt{2}$$ дм, значит BO = $$2\sqrt{2}$$ дм.

По теореме Пифагора FO = $$\sqrt{BF^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 8} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ (дм).

Ответ: FA = FC = $$4\sqrt{5}$$ дм, FO = $$6\sqrt{2}$$ дм.