Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на (а, b), где а, в – целые числа. Эта команда перемещает Чертёжника из точки с координатами (х, у) в точку с координатами (х + а, у + b). Например, если Чертёжник находится в точке с координатами (4, 2), то команда сместиться на (2, 3) переместит Чертёжника в точку (6, -1). Цикл ПОВТОРИ Число РАЗ последовательность команд КОНЕЦ ПОВТОРИ означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм (количество повторений и смещения в первой из повторяемых команд неизвестны): НАЧАЛО сместиться на (5, 2) ПОВТОРИ... РАЗ сместиться на (......) сместиться на (-1, -2) КОНЕЦ ПОВТОРИ сместиться на (-25, -12) КОНЕЦ После выполнения этого алгоритма Чертёжник возвращается в исходную точку. Какое наибольшее число повторений могло быть указано в конструкции «ПОВТОРИ... РАЗ»?.

Пусть x и y – смещения по осям координат за один повтор цикла, а n – число повторений. Тогда смещение за n повторений будет nx и ny соответственно.

Алгоритм Чертёжника выглядит так:

1. Начальное смещение: (5, 2)
2. Цикл n раз: смещение на (x, y), смещение на (-1, -2)
3. Завершающее смещение: (-25, -12)

Чтобы Чертёжник вернулся в исходную точку, суммарное смещение должно быть равно нулю. Составим уравнения:

\[5 + n \cdot x + n \cdot (-1) - 25 = 0\]

\[2 + n \cdot y + n \cdot (-2) - 12 = 0\]

Преобразуем уравнения:

\[n \cdot x - n = 20\]

\[n \cdot y - 2n = 10\]

Выразим x и y:

\[x = \frac{20}{n} + 1\]

\[y = \frac{10}{n} + 2\]

Так как x и y должны быть целыми числами, то n должно быть делителем чисел 20 и 10. Общие делители этих чисел: 1, 2, 5, 10. Наибольший общий делитель – 10.

Проверим, что при n = 10, x и y будут целыми:

\[x = \frac{20}{10} + 1 = 2 + 1 = 3\]

\[y = \frac{10}{10} + 2 = 1 + 2 = 3\]

Таким образом, при n = 10, x = 3 и y = 3 являются целыми числами.

Ответ: 10

Проверка за 10 секунд: Подставили n=10 в уравнения. Получили целые значения x и y. Наибольший общий делитель 20 и 10 равен 10.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Понимание условий задачи и умение составить систему уравнений — ключевые навыки для решения подобных задач.