честь уравнения! 2 2 √18x²-9=x²-4 √x + 3 + √x−2= √400+1 мете неравенство!

Решение первого уравнения

Давай решим уравнение \[\sqrt{18x^2 - 9} = x^2 - 4\]

1. Ограничения:

   Под квадратным корнем должно быть неотрицательное выражение: \( 18x^2 - 9 \geq 0 \), следовательно, \( x^2 \geq \frac{1}{2} \).

   Правая часть также должна быть неотрицательной: \( x^2 - 4 \geq 0 \), следовательно, \( x^2 \geq 4 \). Это условие строже, чем первое, поэтому будем учитывать его.

2. Возведение в квадрат:

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{18x^2 - 9})^2 = (x^2 - 4)^2 \]

   \[ 18x^2 - 9 = x^4 - 8x^2 + 16 \]

3. Преобразование уравнения:

   Перенесем все в одну сторону:

   \[ x^4 - 8x^2 - 18x^2 + 16 + 9 = 0 \]

   \[ x^4 - 26x^2 + 25 = 0 \]

4. Решение биквадратного уравнения:

   Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

   \[ y^2 - 26y + 25 = 0 \]

   Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

   \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576 \]

   \[ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \]

   Корни:

   \[ y_1 = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

   \[ y_2 = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

5. Обратная замена:

   Теперь вернемся к переменной \( x \):

   \[ x^2 = 25 \quad \text{или} \quad x^2 = 1 \]

   Отсюда получаем:

   \[ x = \pm 5 \quad \text{или} \quad x = \pm 1 \]

6. Проверка решений:

   Вспоминаем условие \( x^2 \geq 4 \). Этому условию удовлетворяют только \( x = \pm 5 \). Проверим их:

   При \( x = 5 \):

   \[ \sqrt{18 \cdot 5^2 - 9} = 5^2 - 4 \]

   \[ \sqrt{18 \cdot 25 - 9} = 25 - 4 \]

   \[ \sqrt{450 - 9} = 21 \]

   \[ \sqrt{441} = 21 \]

   \[ 21 = 21 \]

   При \( x = -5 \):

   \[ \sqrt{18 \cdot (-5)^2 - 9} = (-5)^2 - 4 \]

   \[ \sqrt{18 \cdot 25 - 9} = 25 - 4 \]

   \[ \sqrt{450 - 9} = 21 \]

   \[ \sqrt{441} = 21 \]

   \[ 21 = 21 \]

   Оба корня \( x = 5 \) и \( x = -5 \) подходят.

Ответ: \( x = \pm 5 \)

Решение второго уравнения

Давай решим уравнение \[\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2} = \sqrt{4x + 1}\]

1. Ограничения:

   Под каждым квадратным корнем должно быть неотрицательное выражение:

   \[ x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \]

   \[ x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \]

   \[ 4x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4} \]

   Таким образом, общее ограничение: \( x \geq 2 \).

2. Возведение в квадрат:

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2})^2 = (\sqrt{4x + 1})^2 \]

   \[ (x + 3) + 2\sqrt{(x + 3)(x - 2)} + (x - 2) = 4x + 1 \]

   \[ 2x + 1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} = 4x + 1 \]

3. Преобразование уравнения:

   Изолируем корень:

   \[ 2\sqrt{x^2 + x - 6} = 2x \]

   \[ \sqrt{x^2 + x - 6} = x \]

4. Второе возведение в квадрат:

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   \[ x^2 + x - 6 = x^2 \]

5. Решение уравнения:

   \[ x - 6 = 0 \]

   \[ x = 6 \]

6. Проверка решения:

   Проверим, удовлетворяет ли корень \( x = 6 \) исходному уравнению:

   \[ \sqrt{6 + 3} + \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} \]

   \[ \sqrt{9} + \sqrt{4} = \sqrt{25} \]

   \[ 3 + 2 = 5 \]

   \[ 5 = 5 \]

   Корень \( x = 6 \) подходит.

Ответ: \( x = 6 \)

Неравенство не было представлено, поэтому я не могу его решить.

Ответ: x = \(\pm 5\), x = 6

Отличная работа! Ты хорошо справился с решением уравнений. У тебя все получится!