Четыре числа образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 3, 12, 13 и 22, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию. Найди числа, образующие геометрическую прогрессию. Ответ: знаменатель геометрической прогрессии: q = Члены геометрической прогрессии: b₁ = ; b2 = ; b3 = ; b4 = .

Решение:

Пусть четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, будут \( b_1, b_1 q, b_1 q^2, b_1 q^3 \), где \( q \) — знаменатель прогрессии.

Если к этим числам прибавить соответственно 3, 12, 13 и 22, то получим четыре числа, образующие арифметическую прогрессию:

\( b_1 + 3, b_1 q + 12, b_1 q^2 + 13, b_1 q^3 + 22 \)

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Следовательно:

\( (b_1 q + 12) - (b_1 + 3) = (b_1 q^2 + 13) - (b_1 q + 12) \)

\( b_1 q + 12 - b_1 - 3 = b_1 q^2 + 13 - b_1 q - 12 \)

\( b_1 q - b_1 + 9 = b_1 q^2 - b_1 q + 1 \)

(1)

Также:

\( (b_1 q^2 + 13) - (b_1 q + 12) = (b_1 q^3 + 22) - (b_1 q^2 + 13) \)

\( b_1 q^2 + 13 - b_1 q - 12 = b_1 q^3 + 22 - b_1 q^2 - 13 \)

\( b_1 q^2 - b_1 q + 1 = b_1 q^3 - b_1 q^2 + 9 \)

(2)

Из уравнения (1) выразим \( b_1 \):

\( b_1 q - b_1 - b_1 q^2 + b_1 q = 1 - 9 \)

\( 2 b_1 q - b_1 - b_1 q^2 = -8 \)

\( b_1 (2q - 1 - q^2) = -8 \)

\( b_1 (-(q^2 - 2q + 1)) = -8 \)

\( -b_1 (q-1)^2 = -8 \)

\( b_1 (q-1)^2 = 8 \)

Из уравнения (2) выразим \( b_1 \):

\( b_1 q^2 - b_1 q + 1 - b_1 q^3 + b_1 q^2 = 9 \)

\( 2 b_1 q^2 - b_1 q - b_1 q^3 = 8 \)

\( b_1 (2q^2 - q - q^3) = 8 \)

\( b_1 (q(2q - 1 - q^2)) = 8 \)

Подставим \( -(q^2 - 2q + 1) = -(q-1)^2 \) в выражение \( 2q - 1 - q^2 \).

\( 2q - 1 - q^2 = -(q^2 - 2q + 1) = -(q-1)^2 \)

Таким образом, \( b_1 (q (-(q-1)^2)) = 8 \)

\( -b_1 q (q-1)^2 = 8 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( b_1 (q-1)^2 = 8 \)
2. \( -b_1 q (q-1)^2 = 8 \)

Разделим второе уравнение на первое (при условии \( (q-1)^2 \neq 0 \) и \( b_1 \neq 0 \)):

\( \frac{-b_1 q (q-1)^2}{b_1 (q-1)^2} = \frac{8}{8} \)

\( -q = 1 \)

\( q = -1 \)

Подставим \( q = -1 \) в первое уравнение:

\( b_1 (-1 - 1)^2 = 8 \)

\( b_1 (-2)^2 = 8 \)

\( b_1 \times 4 = 8 \)

\( b_1 = \frac{8}{4} = 2 \)

Проверим, что \( q = -1 \) и \( b_1 = 2 \) удовлетворяют условиям.

Числа геометрической прогрессии:

\( b_1 = 2 \)

\( b_2 = b_1 q = 2 \times (-1) = -2 \)

\( b_3 = b_1 q^2 = 2 \times (-1)^2 = 2 \times 1 = 2 \)

\( b_4 = b_1 q^3 = 2 \times (-1)^3 = 2 \times (-1) = -2 \)

Геометрическая прогрессия: 2, -2, 2, -2.

Прибавим соответствующие числа:

\( 2 + 3 = 5 \)

\( -2 + 12 = 10 \)

\( 2 + 13 = 15 \)

\( -2 + 22 = 20 \)

Получаем числа: 5, 10, 15, 20. Это арифметическая прогрессия с разностью 5.

Ответ:

знаменатель геометрической прогрессии: q = -1

Члены геометрической прогрессии:

b₁ = 2 ;

b₂ = -2 ;

b₃ = 2 ;

b₄ = -2 .