6. Четыре числа образуют геометрическую прогрессию, в кото рой сумма крайних членов равна 84, а сумма средних равна -24. Найдите эти числа. 7. Сколько денег будет на счёте вкладчика банка через 4 года, если он положил 20000 рублей под 5% годовых? Вариант 1 1. Дана геометрическая прогрессия 30; 15; ... Найдите: а) её знаменатель; б) её четвёртый член; в) формулу п-го члена прогрессии; г) сумму первых шести членов. 2. Изобразите в координатной плоскости первые пять членов гес метрической прогрессии (bn), если 65 = 4, 67 = 16 и q < 0, где q — знаменатель прогрессии. 3. В геометрической прогрессии (6) все члены положительны Найдите S5, если известно, что S2 = 5, S3 = 21. 4. Найдите все значения х, при которых значения выражений 3x - 5,2x, 3х в указанном порядке составляют геометриче скую прогрессию. 5. Первый член возрастающей геометрической прогрессии равев 2. Разность между третьим и вторым членами этой прогресси равна на 12. Найдите второй и третий её члены. 6. Четыре числа образуют геометрическую прогрессию, в кото рой сумма крайних членов равна 252, а сумма средних членов равна 60. Найдите эти числа.

Задание 6 (Вариант 1)

Пусть четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, будут a, b, c, d. По условию, a + d = 84 и b + c = -24. Обозначим знаменатель прогрессии через q. Тогда:

\[b = aq\]

\[c = aq^2\]

\[d = aq^3\]

Теперь мы можем записать уравнения:

\[a + aq^3 = 84\]

\[aq + aq^2 = -24\]

Выразим a из второго уравнения:

\[a = \frac{-24}{q + q^2}\]

Подставим это в первое уравнение:

\[\frac{-24}{q + q^2} + \frac{-24}{q + q^2} \cdot q^3 = 84\]

\[\frac{-24(1 + q^3)}{q + q^2} = 84\]

\[-24(1 + q^3) = 84(q + q^2)\]

\[-24 - 24q^3 = 84q + 84q^2\]

\[2q^3 + 7q^2 + 7q + 2 = 0\]

\[(q + 1)(2q^2 + 5q + 2) = 0\]

Отсюда q = -1 или 2q^2 + 5q + 2 = 0. Решим квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\]

\[q_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}\]

\[q_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2\]

Теперь найдем a для каждого случая:

1) q = -1:

\[a = \frac{-24}{-1 + 1} \rightarrow \text{не определено}\]

2) q = -\frac{1}{2}:

\[a = \frac{-24}{-\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{-24}{-\frac{1}{4}} = 96\]

Тогда числа: 96, -48, 24, -12.

3) q = -2:

\[a = \frac{-24}{-2 + 4} = \frac{-24}{2} = -12\]

Тогда числа: -12, 24, -48, 96.

Задание 7 (Вариант 1)

Используем формулу сложного процента: A = P(1 + r/n)^(nt), где:

P = 20000 (первоначальная сумма)

r = 0.05 (годовая процентная ставка)

n = 1 (проценты начисляются один раз в год)

t = 4 (количество лет)

\[A = 20000(1 + 0.05)^4\]

\[A = 20000(1.05)^4\]

\[A = 20000 \cdot 1.21550625\]

\[A = 24310.125\]

Округлим до двух знаков после запятой: 24310.13.

Задание 1a (Вариант 1)

Дана геометрическая прогрессия 30, 15, ... Найдите ее знаменатель.

\[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Задание 1б (Вариант 1)

Найдите четвертый член.

\[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 30 \cdot (0.5)^3 = 30 \cdot 0.125 = 3.75\]

Задание 1в (Вариант 1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

\[b_n = 30 \cdot (0.5)^{n-1}\]

Задание 1г (Вариант 1)

Сумма первых шести членов: \[S_6 = \frac{b_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{30(1 - (0.5)^6)}{1 - 0.5} = \frac{30(1 - 0.015625)}{0.5} = 60 \cdot 0.984375 = 59.0625\]

Задание 2 (Вариант 1)

Изобразите в координатной плоскости первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если b5 = 4, b7 = 16 и q < 0, где q — знаменатель прогрессии.

\[b_7 = b_5 \cdot q^2\]

\[16 = 4 \cdot q^2\]

\[q^2 = 4\]

Так как q < 0, то q = -2.

\[b_5 = b_1 \cdot q^4\]

\[4 = b_1 \cdot (-2)^4\]

\[4 = b_1 \cdot 16\]

\[b_1 = \frac{1}{4} = 0.25\]

\[b_2 = b_1 \cdot q = 0.25 \cdot (-2) = -0.5\]

\[b_3 = b_2 \cdot q = -0.5 \cdot (-2) = 1\]

\[b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot (-2) = -2\]

\[b_5 = 4\]

На координатной плоскости нужно отметить точки (1, 0.25), (2, -0.5), (3, 1), (4, -2), (5, 4).

Задание 3 (Вариант 1)

В геометрической прогрессии (bn) все члены положительны. Найдите S5, если известно, что S2 = 5, S3 = 21.

\[S_2 = b_1 + b_2 = 5\]

\[S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 21\]

\[b_3 = S_3 - S_2 = 21 - 5 = 16\]

\[b_2 = b_1 \cdot q\]

\[b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2\]

\[\frac{b_3}{b_2} = q = \frac{16}{5 - b_1}\]

\[b_1 + b_1 \cdot q = 5\]

\[b_1(1 + q) = 5\]

\[b_1 = \frac{5}{1 + q}\]

\[b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{5}{1 + q} \cdot q^2 = 16\]

\[5q^2 = 16 + 16q\]

\[5q^2 - 16q - 16 = 0\]

\[D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 256 + 320 = 576 = 24^2\]

\[q = \frac{16 + 24}{10} = 4\]

\[q = \frac{16 - 24}{10} = -\frac{4}{5}\]

Так как все члены положительны, то q = 4.

\[b_1 = \frac{5}{1 + 4} = 1\]

\[S_5 = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} = 1 \cdot \frac{1 - 4^5}{1 - 4} = \frac{1 - 1024}{-3} = \frac{-1023}{-3} = 341\]

Задание 4 (Вариант 1)

Найдите все значения x, при которых значения выражений 3x - 5, 2x, 3x в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию.

\[\frac{2x}{3x - 5} = \frac{3x}{2x}\]

\[4x^2 = 9x^2 - 15x\]

\[5x^2 - 15x = 0\]

\[5x(x - 3) = 0\]

\[x = 0, x = 3\]

При x = 0: -5, 0, 0 (не является геометрической прогрессией)

При x = 3: 4, 6, 9 (является геометрической прогрессией)

Задание 5 (Вариант 1)

Первый член возрастающей геометрической прогрессии равен 2. Разность между третьим и вторым членами этой прогрессии равна 12. Найдите второй и третий ее члены.

\[b_1 = 2\]

\[b_3 - b_2 = 12\]

\[b_2 = b_1 \cdot q = 2q\]

\[b_3 = b_1 \cdot q^2 = 2q^2\]

\[2q^2 - 2q = 12\]

\[q^2 - q - 6 = 0\]

\[(q - 3)(q + 2) = 0\]

\[q = 3, q = -2\]

Так как прогрессия возрастающая, то q = 3.

\[b_2 = 2 \cdot 3 = 6\]

\[b_3 = 2 \cdot 3^2 = 18\]

Задание 6 (Вариант 1)

Четыре числа образуют геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 252, а сумма средних членов равна 60. Найдите эти числа.

\[a + aq^3 = 252\]

\[aq + aq^2 = 60\]

\[a(1 + q^3) = 252\]

\[a(q + q^2) = 60\]

\[\frac{1 + q^3}{q + q^2} = \frac{252}{60} = \frac{21}{5}\]

\[5(1 + q^3) = 21(q + q^2)\]

\[5 + 5q^3 = 21q + 21q^2\]

\[5q^3 - 21q^2 - 21q + 5 = 0\]

\[(q - 1)(5q^2 - 16q - 5) = 0\]

Если q = 1, то a + a = 252 и a + a = 60, что невозможно.

\[5q^2 - 16q - 5 = 0\]

\[D = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 256 + 100 = 356 = (2 \sqrt{89})^2\]

\[q = \frac{16 \pm 2 \sqrt{89}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{89}}{5}\]

Сложно решить дальше, так как нет точного значения q.

Ответ: Задание 6 (Вариант 1) a = 96, b = -48, c = 24, d = -12 или a = -12, b = 24, c = -48, d = 96 Ответ: Задание 7 (Вариант 1) 24310.13

Ответ: Задание 1a (Вариант 1) 0.5

Ответ: Задание 1б (Вариант 1) 3.75

Ответ: Задание 1в (Вариант 1) \[b_n = 30 \cdot (0.5)^{n-1}\]

Ответ: Задание 1г (Вариант 1) 59.0625

Ответ: Задание 2 (Вариант 1) На координатной плоскости нужно отметить точки (1, 0.25), (2, -0.5), (3, 1), (4, -2), (5, 4).

Ответ: Задание 3 (Вариант 1) 341

Ответ: Задание 4 (Вариант 1) 3

Ответ: Задание 5 (Вариант 1) b2 = 6, b3 = 18

Ответ: Задание 6 (Вариант 1) Не могу найти точное решение, требуется дополнительная информация.