2) Четыре числа составляет геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что при увеличении их на 14, 17, 16 и 3, соответственно, они составляют арифметическую прогрессию. Запишите эти числа без пробелов и запятых.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии будут $$b_1, b_2, b_3, b_4$$. Тогда $$b_2 = b_1q$$, $$b_3 = b_1q^2$$, $$b_4 = b_1q^3$$, где $$q$$ - знаменатель геометрической прогрессии. По условию, при увеличении этих чисел на 14, 17, 16 и 3 соответственно, получается арифметическая прогрессия. То есть, числа $$b_1+14, b_2+17, b_3+16, b_4+3$$ образуют арифметическую прогрессию. Значит, разность между соседними членами этой прогрессии постоянна. Пусть $$d$$ - разность арифметической прогрессии. Тогда: $$b_2 + 17 - (b_1 + 14) = d$$ (1) $$b_3 + 16 - (b_2 + 17) = d$$ (2) $$b_4 + 3 - (b_3 + 16) = d$$ (3) Подставим $$b_2 = b_1q$$, $$b_3 = b_1q^2$$, $$b_4 = b_1q^3$$ в уравнения (1), (2), (3): $$b_1q + 17 - b_1 - 14 = d$$ => $$b_1(q-1) + 3 = d$$ (1') $$b_1q^2 + 16 - b_1q - 17 = d$$ => $$b_1(q^2-q) - 1 = d$$ (2') $$b_1q^3 + 3 - b_1q^2 - 16 = d$$ => $$b_1(q^3-q^2) - 13 = d$$ (3') Теперь приравняем (1') и (2'): $$b_1(q-1) + 3 = b_1(q^2-q) - 1$$ $$b_1(q^2-q - q + 1) = 4$$ $$b_1(q^2 - 2q + 1) = 4$$ $$b_1(q-1)^2 = 4$$ (4) Приравняем (2') и (3'): $$b_1(q^2-q) - 1 = b_1(q^3-q^2) - 13$$ $$b_1(q^3 - q^2 - q^2 + q) = 12$$ $$b_1(q^3 - 2q^2 + q) = 12$$ $$b_1q(q^2 - 2q + 1) = 12$$ $$b_1q(q-1)^2 = 12$$ (5) Разделим (5) на (4): $$\frac{b_1q(q-1)^2}{b_1(q-1)^2} = \frac{12}{4}$$ $$q = 3$$ Подставим $$q = 3$$ в (4): $$b_1(3-1)^2 = 4$$ $$b_1(2)^2 = 4$$ $$4b_1 = 4$$ $$b_1 = 1$$ Тогда, числа геометрической прогрессии: $$b_1 = 1, b_2 = 1*3 = 3, b_3 = 1*3^2 = 9, b_4 = 1*3^3 = 27$$. Проверим: $$1+14 = 15, 3+17 = 20, 9+16 = 25, 27+3 = 30$$. Получили арифметическую прогрессию с разностью $$d = 5$$. Ответ: **13927**