Четыре друга А., Б., В. и Г. заселяются в гостиницу в два двухместных номера. Администратор гостиницы распределя- ет их по номерам случайным образом. Найдите вероятность того, что А. и Б. оказались в одном номере. Ответ дайте в виде обыкновенной НЕСОКРАТИМОЙ дроби без пробелов, например: 1/6

Для решения данной задачи необходимо определить общее количество возможных вариантов расселения друзей по номерам и количество вариантов, при которых друзья А. и Б. окажутся в одном номере.

Общее количество способов расселить 4 человек по двум комнатам по 2 человека:

$$C_4^2$$ - число способов выбрать 2 человек из 4 в первую комнату. $$C_2^2$$ - число способов разместить оставшихся 2 человек во второй комнате. Но так как порядок комнат не важен, нужно разделить на 2. Итого:

$$ \frac{C_4^2 \cdot C_2^2}{2} = \frac{\frac{4!}{2!2!} \cdot 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$, то есть всего 3 способа разбить 4 человек на две группы по 2 человека.

Количество способов, при которых А и Б будут в одной комнате:

Если А и Б в одной комнате, то в другую комнату нужно выбрать 2 человек из оставшихся двух (В и Г). Это можно сделать единственным способом: $$C_2^2=1$$.

Вероятность того, что А и Б окажутся в одном номере:

$$P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{1}{3}$$.

Ответ: 1/3