6. Четыре одинаковых заряда я расположены в вершинах квадрата. Какой заряд Q нужно поместить в центр для равновесия?

Решение:

• Пусть сторона квадрата равна a.
• Заряд в вершинах квадрата равен q.
• Заряд в центре квадрата равен Q.

Рассмотрим один из зарядов q в вершине квадрата. На него действуют силы от трех других зарядов q и сила от центрального заряда Q.

Силы, действующие на заряд q:

• Две силы от соседних зарядов q, расположенных на расстоянии a.
• Одна сила от заряда q, расположенного на расстоянии a√2 (по диагонали).
• Одна сила от заряда Q, расположенного в центре квадрата на расстоянии a√2/2.

Запишем уравнение равновесия для заряда q.

Сила, действующая на заряд q со стороны двух соседних зарядов, направлена вдоль диагонали и равна:

\[ F_1 = 2 \cdot k \frac{q^2}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = k \frac{q^2 \sqrt{2}}{a^2} \]

Сила, действующая на заряд q со стороны заряда, расположенного по диагонали:

\[ F_2 = k \frac{q^2}{2a^2} \]

Суммарная сила от трех зарядов q:

\[ F = F_1 + F_2 = k \frac{q^2 \sqrt{2}}{a^2} + k \frac{q^2}{2a^2} = k \frac{q^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) \]

Сила со стороны заряда Q должна компенсировать эту силу:

\[ F_Q = k \frac{q|Q|}{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2} = k \frac{2q|Q|}{a^2} \]

Приравниваем силы:

\[ k \frac{q^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = k \frac{2q|Q|}{a^2} \]

Выражаем |Q|:

\[ |Q| = \frac{q}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1) \]

Заряд Q должен быть отрицательным, чтобы компенсировать силу от положительных зарядов q.

\[ Q = - \frac{q}{4} (2\sqrt{2} + 1) \]